Механизм Вселенной: как законы науки управляют миром и как мы об этом узнали

Планк мог на данном этапе почивать на лаврах, возможно получив за свои усилия Нобелевскую премию — либо единолично, либо разделив ее с Вином. Однако Планку нужно было понимание «абсолютной» природы своего нового выражения. В конце концов, к тому моменту Планк создал, основываясь на изрядном количестве «гениальных догадок», не более чем эффективное уравнение, касающееся взаимодействия вещества и света, без заметного физического понимания его истинной природы. Оставался следующий вопрос: «Что именно, связанное с веществом и энергией, приводит к планковской форме спектра абсолютно черного тела?»

Чтобы ответить на этот вопрос, Планк снова обращается к Больцману, на этот раз к его работе 1877 года. Планк, прежде стойкий противник статистической интерпретации энтропии Больцмана, казалось, немного передумал:

«Я догадывался, что эту величину (энтропию резонатора) будет возможно рассчитать, введя статистическое рассмотрение, важность которого для второго начала термодинамики впервые продемонстрировал Больцман».

Несмотря на уступки Больцману, Планк не перешел полностью на сторону статистического подхода; у него была своя собственная интерпретация природы вероятности физических явлений. Он также не следовал четко и во всем исходному подходу Больцмана, допуская немного вольности при необходимости. Позже (в 1931 году) Планк будет упоминать эту часть своей программы как «акт отчаяния», объясняя это тем, что он «должен был получить положительный результат при любых обстоятельствах и любой ценой».

Отправной точкой «акта отчаяния» Планка было уравнение Больцмана, введенное в части 2:

S = k lnW.

Вспомним, что это выражение описывает полную энтропию системы в определенном макросостоянии, или физическом состоянии, для соответствующих микросостояний, полная сумма которых равна W. На самом деле Больцман изначально написал это уравнение в виде пропорции:

S ∝ lnW,

а не в виде того равенства, которое мы сегодня знаем. Именно Планк позже ввел константу k, которую мы сейчас называем постоянной Больцмана, и указал на ее важность. Кроме того, Больцман предложил метод расчета полного числа микросостояний W, или сочетаний, как их называл Больцман.

Это был улучшенный вариант метода Больцмана, предложенного в 1868 году, и он должен был стать новым подходом, дополняющим его работу 1872 года. Больцман рассматривал систему из N атомов газа с постоянной полной энергией E. Микросостояние такой системы будет описывать каждый из N атомов газа как имеющий определенную часть полной энергии. Чтобы сделать такое описание возможным, Больцман представил полную энергию в виде:

E = Pε.

Таким образом, полная энергия системы появлялась «порциями», каждая величиной ε, а отдельный атом газа мог иметь энергию 0, ε, 2ε, 3ε, … Pε.

Представим систему, состоящую из двух атомов (N = 2), где энергия разделяется на три порции (P = 3), поэтому один атом может иметь возможные энергии 0, ε, 2ε, 3ε. Единственные возможные микросостояния — с учетом того требования, чтобы энергии всех атомов в сумме равнялись энергии системы (E = = 3ε) — это (0, 3ε), (3ε, 0), (2ε, ε), (ε, 2ε), где первая величина в скобках — это энергия «атома 1», а вторая — «атома 2». Каждое микросостояние обозначает атом (либо 1, либо 2) вместе с соответствующим значением его энергии. Другими словами, мы сделали и энергию, и атомы различимыми (нам нужно позже поговорить об этом подробнее). Для произвольного числа атомов газа и порций энергии (любые значения N и P) можно записать общее выражение для W[178], а значит, и для энтропии.

Для Больцмана этот подход был просто средством достижения цели. На завершающем шаге он позволил размерам системы подходить под очень большое число атомов. Далее он сделал эти порции энергии очень маленькими. Мы уже видели, что реальные системы, подобные шарику, заполненному атомами газа, содержат очень большое число атомов, вот почему Больцман рассматривал системы таких размеров; он хотел установить связь с реальными физическими системами. Что касается допущения крайне маленьких порций энергии — ну, оно тоже было мотивировано реальными физическими рассмотрениями.

Больцман рассматривал энергию системы, распределенную порциями, как своего рода прием, математический трюк, который сделал возможным написать выражение для энтропии. Он объяснял:

«Следует признать, прием (порции энергии) не соответствует любой (реализуемой) физической проблеме, а на самом деле является задачей, с которой можно намного легче справиться математически и которая переходит непосредственно в (физическую) проблему…»