Методы определения производных функций и нейросети.Выполнение экзаменационных заданий.

log a^k от (x) =(1/k) log a от (x)

Замена основания:

log a от (x) = log c от (x)/ log c от (a) , c > 0 и c=/1

5. Прогрессии.

Арифметическая

a(от n членов прогрессии) = a(n – 1) +d; 2a(n) = a(n – 1)+ a(n – 2); a(n) = a1 +d(n – 1);

Cумма n членов арифметической прогрессии:

S(n) = n/2*(a1 + an)

Геометрическая

b(n) (n – 1)*q, q=/1; b(n) = b1*q^(n – 1);

[b(n)]^2 = b(n – 1)* b(n + 1)

Cумма n членов геометрической прогрессии:

S(n) = b1*(1 – q^n)/(1 – q)

Cумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = b1/(1 – q)

6.Тригонометрия.

Основные тригонометрические тождества:

(sin B)^2 + (cos B)^2 = 1

tg B = sin B/ cos B; ctg B = cos B/ sin B;

sec B =1/ cos B; cosec B =1/ sin B;

tg B*ctg B = 1; 1 + (tg B)^2 = 1/(cos B)^2;

1 + (ctg B)^2 = 1/(sin B)^2

Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций:

sin(B + Z) = sinB*cosZ + sinZ*cosB

sin(B – Z) = sinB*cosZ – sinZ*cosB

cos(B + Z) = cosB*cosZ – sinZ*sinB

cos(B – Z) = cosB*cosZ + sinZ*sinB

tg(B + Z) = (tgB + tgZ)/(1 – tgB*tgZ)

tg(B – Z) = (tgB – tgZ)/(1 + tgB*tgZ)

Четность и нечетность тригонометрических функций:

sin(– B ) = – sinB; cos(– B) = cosB; tg(– B) = – tgB;

ctg(– B) = – ctgB; sec (– B) = secB; cosec(– B) = – cosecB

Формулы двойного аргумента:

sin2B = 2sinB cosB;

cos2B = (cosB)^2 – (sinB)^2 = 2(cosB)^2 – 1 =1 – 2(sinB)^2

(sinB)^2 = (1 – cos2B)/2

(cosB)^2 = (1 + cos2B)/2

tg2B = 2tgB/[1 – (tgB)^2]

Формулы половинного аргумента:

[sin(B/2)]^2 = (1 – cosB)/2; [cos(B/2)]^2 =(1 + cosB)/2;

[tg(B/2)]^2 =(1 – cosB)/(1 + cosB); [ctg(B/2)]^2 = (1 + cosB)/(1 – cosB);

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

sinB*cosZ = [sin(B +Z) + sin(B -Z)]/2;

cosB*cosZ = [cos(B +Z) + cos(B -Z)]/2;

sinB*sinZ = [cos(B – Z) – cos(B -Z)]/2;

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sinB + sinZ = 2 sin[(B +Z)/2]*cos[(B – Z)/2];

sinB – sinZ = 2 sin[(B – Z)/2]* cos[(B – Z)/2];

cosB + cosZ = 2 cos[(B +Z)/2]*cos[(B – Z)/2];

cosB – cosZ = – 2 sin[(B +Z)/2]*sin[(B – Z)/2];

tgB + tg Z = sin(B +Z)/ (cosB*cosZ);

tgB – tg Z = sin(B – Z)/ (cosB*cosZ);

ctgB + ctg Z = sin(B +Z)/ (sinB*sinZ);

ctgB – ctg Z = sin(Z – B)/ (sinB*sinZ);

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла:

sinB = 2 tg(B/2)/{1 +[tg(B/2)]^2}; cosB ={1 – [tg(B/2)]^2}/{1 +[tg(B/2)]^2};

tgB = 2 tg(B/2)/{1 – [tg(B/2)]^2}; ctgB = {1 – [tg(B/2)]^2}/2tg(B/2)

Глава 2

Основные понятия и определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1

Производной данной функции y = f (x) при данном значении аргумента х0 называется предел отношения приращения функции ? у к приращению аргумента ?x, когда ?x произвольным образом стремится к нулю.

Если такого предела не существует, то данная функция в точке х0 производной не имеет. В том случае, когда предел равен + или – бесконечности, говорят, что существует бесконечная производная.

Если функция у = f (х) имеет конечную производную в точке x₀ , то говорят, что она дифференцируема в точке x₀.

Нахождение производной такой функции называется дифференцированием.

Примеры:

Движение автомобиля, поезда, человека и т.д.

Но можно говорить и о других смыслах: например,экономическом:

Скорость падения акций на рынке ценных бумаг, изменение курса валют, падение покупательского спроса на определенные виды товаров, изменение инфляции, зарплаты и т.д.

Правила дифференцирования

Правило 1

Если функции U и V дифференцируемы в точке x₀, то их сумма также дифференцируема в точке x₀, при чем производная суммы равна сумме производных, т.е. (U + V)' = U' + V'.

Правило 2

Если функции U и V дифференцируемы в точке x₀, то их произведение также дифференцируемо в точке x₀, при чем (U x V)' = U'V + UV'.

Правило 3

Если функции U и V дифференцируемы в точке х₀ и (х₀ ) ? 0, то их частное также дифференцируемо в точке x₀, при чем (U/V)' = (U'V – UV')/V^2.

Правило 4

Если функция U дифференцируема в точке x₀ и с = const, то их произведение также дифференцируемо в точке x₀ , при чем (C*U)' = C*U'.

Правило 5

Если f(g(х)) – сложная функция, то ее производная равна произведению производных внешней и внутренней функций, т.е.

[f(g(х))]'= f'(g)*G'(x).

Опираясь на математическое определение производной, а также на ее физический и геометрический смысл, можно найти производные всех основных элементарных функций.

Давайте подключим к этому процессу нейросети.

Пример 1. Найти производную функции y = sinx и описать по шагам.

GPTutor

Конечно, давайте найдем производную функции ( y = \sin x ) пошагово.

Шаг 1: Запись исходной функции

У нас есть функция:

[ y = \sin x ]

Шаг 2: Применение правила дифференцирования для синуса

Известно, что производная синуса ( \sin x ) по переменной ( x ) равна косинусу этой переменной ( x ):

[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ]