Мёртвая зыбь

Но он начал с доказательства нынешней теоремы покойного любителя математики из Мариуполя Геннадия Ивановича Крылова. Тот эмпирически нашел ее, но не успел доказать:

“Сумма двух возможных целых чисел, возведенных в одну и ту же степень, равна целому числу в степени на единицу большей”.

Хⁿ + Yⁿ = Z⁽ⁿ⁺¹⁾; (2)

Целое число >1 равно сумме двух целых чисел:

Z = A + B; при этом (3)

(2) можно представить как:

Z⁽ⁿ⁺¹⁾ = Zⁿ. Z; (4)

Z⁽ⁿ⁺¹⁾=(A + B). Zⁿ = AZⁿ+ ВZⁿ ; (5)

Пусть аⁿ = A; bⁿ= В; в целых числах: (6)

Z⁽ⁿ⁺¹⁾=(a. Z)ⁿ + (b. Z)ⁿ; (7)

Выражения в скобках — это и есть натуральные числа из (2) X и Y:

X = aZ; (8)

Y = bZ; (9)

Подставив (9) и (8) в (7) получим исходное выражение (3):

Xⁿ+ Yⁿ= Zⁿ⁺¹;что и требовалось доказать.

Ферма проверил теорему и на разность степеней:

Xⁿ — Yⁿ = Zⁿ⁺¹;?? (10)

Zⁿ⁺¹ = Z^n. Z; (11)

Z = aⁿ — bⁿ ; (12)

Zⁿ⁺¹ =(a Z)ⁿ — (bZ)ⁿ ; (13)

aZ = X; bZ = Y; (14)

Zⁿ⁺¹ = Xⁿ — Yⁿ ; (10)

Следовательно, теорема верна и для разности степеней и ее формулировка дополнена:

СУММА ИЛИ РАЗНОСТЬ ДВУХ ВОЗМОЖНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНИ n, РАВНА ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ В СТЕПЕНИ n+1.

Ферма вывел более общую теорему НЕОБИНОМА:

“СУММА ДВУХ ВОЗМОЖНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНИ n, РАВНA ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ В ЛЮБОЙ СТЕПЕНИ n+m, при n³2 и m>0.”

По аналогии с доказательством теоремы Крылова, он допустил, что вместо его НЕРАВЕСТВА (2) будет РАВЕНСТВО:

X^n+m + Y^n+m = Z^n+m = Zⁿ. Z^m; n³2 и m>0; (15)

Z^m = A + B (16)

При уcловии, что A>0 и В>0, Z^m>0 (17)

Слагаемые целые числа (16) могут равняться целым числам в степени n

A =aⁿ; B = bⁿ; (18)

Z^n+m = (a Z)ⁿ + (b Z)ⁿ (19)

Но, если X=aZ, Y=bZ, то (20)

X^n+m + Y^n+m = Z^n+m (15)

что и требовалось доказать.

Если теперь рассмотреть неравенство (1), как частный случай (1), когда m=0 и

Xⁿ⁺⁰+ Yⁿ⁺⁰ = Zⁿ⁺⁰ (21)

Из (16) и (18) следует

aⁿ = 1 — bⁿ; a = ⁿ√(1– bⁿ) (22)

Поскольку bⁿ > 1, то а оказывается МНИМОЙ ВЕЛИЧИНОЙ и РАВЕНСТВО (21) НЕПРАВОМЕРНО, является НЕРАВЕНСТВОМ (1), что и доказывает эту теорему.

Так, найдя “Необином”, Ферма привел доказательство своей теоремы, которое могло бы уместиться на полях ”Арифметики Диофанта”!