Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Представьте себе подобную ситуацию. Мы стоим на берегу реки шириной d и хотим провести следующий эксперимент. Вместо того чтобы посылать луч света, мы переплывем реку туда и обратно. Пусть с будет наша скорость, которая соответствует скорости света, a v — скорость течения реки, соответствующая скорости вращения Земли.

По аналогии с экспериментом Майкельсона — Морли, мы сначала проплывем фиксированное расстояние d по течению, а затем против него. Пусть t₁  — время движения по течению, а t₂ — время движения против течения. Когда мы плывем по течению, мы движемся с нашей скоростью с, но по отношению к берегу скорость равна (с + v). Аналогично, плывя против течения, мы движемся относительно берега со скоростью (с — v).

Используя формулу для нахождения расстояния при известных скорости и времени, мы получаем d = (с + v)·t₁ и d = (с — v)·t₂  Общее время по течению и назад считается следующим образом:

(а)Движение по течению и против.

(b)Переплывание реки и возвращение в исходную точку.

(с)Чтобы оставаться напротив исходной точки, пловцу необходимо плыть против течения.

Эти результаты можно проверить на конкретных числах. Представьте себе, что наша река шириной 500 метров (0,5 км), мы плаваем со скоростью с = 2 км/ч, а скорость течения реки v = 1 км/час. Тогда нам потребуется 1/6 часа, чтобы проплыть 500 метров по течению и полчаса — против течения, то есть в общей сложности 2/3 часа (около 0,67 часа).

Во второй части эксперимента Майкельсона и Морли мы переплываем на другую сторону реки и возвращаемся в исходную точку. Чтобы все время оставаться напротив исходной точки, мы должны плыть против течения. Таким образом, мы плывем не только поперек реки, но и против течения, чтобы компенсировать расстояние, на которое река относит нас вниз по течению. Нам постоянно приходится бороться с течением, и только часть работы, которую мы совершаем, помогает нам достичь другого берега. Таким образом, мы плывем вдоль гипотенузы прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен ширине реки, а другой — расстоянию, на которое река отнесла бы нас за это время вниз по течению.

Пусть t₀ — время, требуемое для переплывания реки. Связь между длиной пути и временем получается из теоремы Пифагора:

(c·t₀)² = (v·t₀)² + d²

Перепишем это уравнение следующим образом:

c²t²₀  — v²t²₀ = d²

t²₀ = d²/(c₂ — v₂)

Время, затраченное на обратный путь, то же самое, поэтому общее

Подставим в формулу числовые значения из предыдущего примера. Таким образом, время, требуемое для переплывания реки, составит 1/З  0,5777 часа.

Обратите внимание, что значения времени в двух частях эксперимента (0,67 и 0,5777) различаются. Время, затраченное на движение вдоль течения реки, в 1/(1 — v²/c²) раз больше, чем время движения поперек реки.

Но в эксперименте Майкельсона — Морли результат был иным: значения времени в двух частях эксперимента были одинаковыми. И это не было связано с погрешностью измерений или с ошибкой в эксперименте, который был проведен с максимальной точностью. И никто не мог найти объяснение. Значит, неверна сама теория? Ученые были обеспокоены.

Затем была выдвинута гениальная идея: в некотором смысле скорость вращения Земли «уменьшила расстояние в направлении движения» ровно настолько, чтобы результаты в двух частях эксперимента Майкельсона — Морли получились одинаковыми. Таким образом, если бы Земля двигалась почти со скоростью света, то в направлении движения она была бы плоской, похожей на блин. Расстояние l' в направлении движения связано с расстоянием l в направлении, перпендикулярном направлению движения, следующим образом:

где множитель

называется фактором Лоренца — Фицджеральда.

Так как скорость света является очень большой (3 х 10⁸ м/с), значение фактора Лоренца — Фицджеральда равно почти 1, пока скорость v меньше 10 % от скорости света.

Почему Майкельсон и Морли не смогли измерить уменьшение длины в направлении движения? Потому что когда линейка расположена в направлении движения Земли, длина линейки тоже сокращается. Теория сокращения никогда не может быть доказана прямыми измерениями.

Если бы мы могли делать высокоскоростные фотографии, могли бы мы увидеть, что мяч, летящий почти со скоростью света, принимает форму блина? Нет, даже стоп-кадр не позволит нам это рассмотреть. Почему? Это объясняется тем, что оптические искажения компенсируют уплощение формы.