Млечный Путь, 2012 № 03 (3)

Ахиллес и черепаха бегут по прямой беговой дорожке. В начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса. Ахиллес догоняет черепаху с конечной скоростью, поэтому для перемещения в позицию, которую занимала убегающая от него черепаха, ему требуется ненулевой промежуток времени. Но за этот промежуток времени движущаяся черепаха неизбежно сдвинется на ненулевой интервал пути, и займет новую позицию, и т. д. Упомянутый промежуток времени (и, следовательно, интервал между Ахиллесом и черепахой) будет равен нулю в единственном случае — при бесконечно большой скорости Ахиллеса. Но это невозможно. Поэтому расстояние между бегущим Ахиллесом и ползущей черепахой всегда будет ненулевым, даже если скорость Ахиллеса значительно больше скорости черепахи.

Это утверждение предлагает совершенно естественное разбиение движения на интервалы в рамках классических представлений о движении и работает независимо от значений скоростей Ахиллеса и черепахи или величины интервала на каждом этапе движения, даже если эти интервалы становятся сколь угодно малыми. Оно удивительно красиво и просто, и при этом и логически, и физически абсолютно безукоризненно (в рамках классических представлений о движении). В его основе лежат классические представления о механическом движении: возможности точной локализации положения объектов во времени и пространстве, понятии пространственных и временных интервалов, их аддитивности (т. е. возможности представить общий путь движения в виде суммы составляющих его интервалов) и т. д.

Однако вопреки порождаемому ею парадоксу, в наблюдаемом мире непрерывное механическое движение все-таки существует. Это хорошо отражено в студенческом анекдоте: «Ахиллес был учеником Зенона и твердо знал, что стрела никогда не достигает своей цели. Это и подвело его во время Троянской войны».

Желание спасти классические представления о движении породили самые разные схемы «опровержения» парадокса. Одно из самых популярных «опровержений» заключается в дополнении утверждения Зенона, которое мы сформулировали выше, утверждением: «Чтобы Ахиллес догнал черепаху, он должен сделать бесконечное число шагов за конечное время». Сходящаяся бесконечная последовательность уменьшающихся временных и пространственных интервалов образует в сумме конечные величины, а формирующийся на каждом шаге интервал — расстояние между Ахиллесом и черепахой — в пределе имеет нулевое значение. Подменяя интервал между бегунами его нулевым пределом, делается вывод, что таким образом Ахиллес настигает черепаху.

Однако на самом деле такая подмена неправомерна. Необходимость бесконечного числа шагов никак не следует из утверждения Зенона, поэтому связывать его с утверждением Зенона нет никаких оснований. Логика Зенона, не допускающая существования нулевого члена в последовательности уменьшающихся интервалов (расстояний между бегунами), остается непоколебленной в результате этих рассуждений.