Млечный Путь, 21 век, No 3(48), 2024

Другой пример. Если взять две одинаковые карты, скомкать одну в комок и поверх нее положить вторую, не скомканную, карту, то на скомканной карте всегда найдется хотя бы одна точка, которая находится прямо поверх соответствующей точки на плоской карте.

Формально говоря, непрерывная функция - это функция, в которой небольшое изменение входных данных приводит к небольшому изменению выходных данных. При небольшом изменении входного значения резких изменений выходных значений не происходит.

Это представлено чашкой молока в приведенном выше примере. Неподвижной точкой отображения f называется элемент x, принадлежащий S, такой, что f(x) = x. Другими словами, фиксированная точка имеет положение, которое не меняется после преобразования.

2. Парадокс Рассела

В городе есть цирюльник, который бреет всех, кто не бреется сам и кого не бреет никто. Кто бреет цирюльника? Если цирюльник бреется сам, то цирюльник бреет человека, который бреется сам, - и это противоречит его собственным правилам. Если цирюльник не бреется сам, то цирюльник - это человек, который не бреется сам, значит, его надо брить?

Формально определяя эту проблему с помощью наивной теории множеств, предположим, что существует множество R, которое содержит каждое множество, не содержащее самого себя.

Содержит ли R самого себя?

Если R не содержит самого себя, то оно должно присутствовать само по себе, поскольку представляет собой множество, не имеющее самого себя в качестве элемента.

Вот здесь и возникает парадокс - если R содержит себя, то оно не содержит, а если R не содержит себя, то оно содержит. Это множество, иначе известное как множество Рассела, впервые было выдвинуто в 1901 году в статье английского математика Бертрана Рассела, чтобы доказать точку зрения о несоответствии с наивной теорией множеств.

Парадокс, возникший из-за множества R, привел к переоценке теории множеств, которая в конечном итоге была заменена последовательными аксиоматическими системами, которые ввели некоторые ограничения на то, как могут формироваться множества.

Первая аксиоматизация теории множеств была дана немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году и позже усовершенствована израильским математиком Абрахамом Адольфом Френкелем. Аксиомы, сформулированные Цермело, являются ограничительными, поскольку речь идет об утверждении или подразумевании существования множеств.

3. Гипотеза континуума

Вы - управляющий отелем с бесконечным количеством номеров, в каждом из которых проживает один постоялец. Даже если все номера заняты, отель все равно может вместить бесконечное количество новых гостей - при условии, что количество новых гостей имеет ту же мощность, что и натуральные числа, и счетно бесконечно.

Этот мысленный эксперимент, представленный математиком Дэвидом Гильбертом в его лекциях в 1924 году, был основан на исследовании Кантора 1874 года бесконечных чисел и показал, что не все бесконечности имеют одинаковый размер. Оно показывает, что бесконечно большое множество может содержать другое бесконечно большое множество вещей, если задействованные бесконечности имеют одинаковую мощность.

Математики определяют два бесконечных множества как имеющие одинаковый размер, если между этими двумя множествами может быть достигнуто взаимно однозначное соответствие. Например, можно показать взаимно однозначное соответствие между набором целых чисел и набором натуральных чисел.

Эти два бесконечных множества равны (хотя на первый взгляд множество целых чисел кажется вдвое большим, чем множество натуральных чисел). Математически мощность этих наборов выражается с помощью ℵ0 (ноль алефа), и любой набор, где есть элементы, которые можно соединить с набором натуральных чисел, имеет мощность ℵ0. Все множества мощности ℵ0 называются счетными множествами со счетными бесконечными значениями.

Следующий наименьший бесконечный набор - это набор действительных чисел с мощностью ℵ1. Его часто называют наименьшим несчетным набором, поскольку между набором действительных чисел и набором натуральных чисел не может быть достигнуто взаимно однозначное соответствие. Однако эти утверждения о разных размерах бесконечности, известные как гипотеза континуума, остаются недоказанными и по сей день.

4. Проблема остановки

Учитывая алгоритм и входные данные, можете ли вы определить, остановится ли компьютер в работе или будет работать вечно? Алан Тьюринг доказал, что даже компьютер с бесконечным объемом памяти и вычислительной мощностью никогда не сможет определить, остановится ли в конечном итоге каждая отдельная пара алгоритм/входные данные или нет, в статье, опубликованной в 1936 году, посредством аргумента самоссылки.

Проблема остановки подчеркивает существование неразрешимых проблем - подмножества проблем, которые должны давать ответ "да" или "нет", но не могут дать правильный ответ на все входные данные, устанавливая ограничения на то, что можно вычислить, даже если наша вычислительная мощность увеличивается в геометрической прогрессии.

5. Ахиллес и черепаха