Мои воспоминания

Следующий раздел трудов Крылова посвящен различным задачам, связанным с упругими колебаниями механических систем. Сюда относится статья, помещенная в т. XVI «Mathematische Annalen» и носящая заглавие: «Uber die erzwungenen Schwingungen von gleichf"ormigren, elastischen St"aben» (1904–1905), где автор дает разнообразные приемы решения указанного рода вопросов для прямолинейных упругих брусьев. Далее, мы имеем здесь статью: «Некоторые замечания о крешерах и индикаторах» («Известия Академии наук», 1909). Методы, разработанные в этой статье, Крылов имел случай применить в интересном практическом вопросе: в 1914 г. при испытании компрессоров орудий для одного из готовившихся к вступлению в строй линейных кораблей, индикаторы записали странную диаграмму, дававшую для давления в цилиндрах компрессора величину, вдвое превысившую ожидаемую; казалось, что компрессоров нельзя принять, так как их прочность не была рассчитана на такую нагрузку. Этим чрезвычайно задерживалась готовность корабля и вызывался значительный дополнительный расход до 2,5 млн. рублей. Алексей Николаевич, которому было поручено расследование дела, обнаружил, однако, что индикаторы были использованы неправильно, вследствие чего они и записали не то давление, которое было на самом деле.

Весьма интересна, далее, работа А. Н. Крылова «О напряжениях, вызываемых в упругой системе динамической нагрузкой». Автор дает тут очень ясный и общий прием для решения различных задач этого рода и сопровождает его весьма интересными примерами. Любопытно отметить здесь ошибку, обнаруженную Крыловым в работе такого крупного ученого, как всемирно известный Levi Civita, который, неправильно толкуя свою вполне верную формулу, по которой определяется коэффициент для вычисления напряжения моста, пришел к неприемлемому заключению: выходило, что наиболее тихий ход по мосту является наиболее опасным. А. Н. Крылов вполне выяснил ошибку и дал указание, как следует пользоваться формулой.

Чрезвычайно интересен мемуар Крылова «О расчете балок, лежащих на упругом основании» (Ленинград, 1930). Этим вопросом занимался японский ученый Хоясеи, который дал для него свой прием решения. Но метод Хоясеи приводит к довольно длинным выкладкам, сопровождаемым вычислениями тем больших чисел постоянных коэффициентов, чем больше имеется в балке мест разрыва нагрузки. Алексей Николаевич дал свою оригинальную методику решения задачи, причем «…какова бы ни была нагрузка — непрерывная, прерывная, сосредоточенными силами, — решение вопроса не требует составления многочисленных уравнений, выражающих угловые сопряжения в местах разрыва нагрузки, и число постоянных произвольных, при любых условиях закрепления концов, будет два, для которых и пишутся два уравнения с двумя неизвестными» («Расчеты балок», стр. 42). В конце работы метод прилагается к расчету днища корабля.

Чтобы закончить рассмотрение отдельных исследовательских работ А. Н. Крылова, остановлю ваше внимание еще на двух его статьях. В первой — «Определение способов последовательных приближений к нахождению решения некоторых дифференциальных уравнений колебательного движения» — разбирается вопрос об интегрировании уравнения вида

y" + ny + f + F(y') = 0,

где и — малые параметры, один из которых в частных случаях может быть 0, и дается очень простой и удобный прием решения постоянных задач, причем все решения разлагаются в ряд по степеням малых параметров («Известия Академии наук», 1933). Во второй — «О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем» («Известия Академии наук», 1931) — исследуется решение так называемого «векового уравнения», встречающегося в той же форме в небесной механике, где оно определяет неравенства планет долгого периода. «Вековое» уравнение для своего решения в прежних методах требовало развития весьма сложного детерминанта и, несмотря на то, что к этому вопросу было привлечено внимание таких колоссов, как Лагранж, Лаплас, Якоби, никому из них не удалось достигнуть существенных упрощений. А. Н. Крылов воспользовался некоторыми мыслями покойного проф. Коркина, излагавшимися в курсе этого нашего крупного математика, и дал прием, который кардинальным образом упрощает вычисление и в практических вопросах быстро приводит к цели. Замечательный способ Крылова, между прочим, привел к интересному алгебраическому анализу вопроса, данному академиком Лузиным.