Читаем Монизм как принцип диалектической логики полностью

Совершенно ясно, что должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо. Каким образом это предложение может быть доказано – это мы увидим ниже, придя к нему, когда элементы геометрии нас этому научат, ибо необходимо обнаружить его справедливость, но не как нечто, представляющееся нам очевидным без доказательства, а как предложение, становящееся таковым благодаря доказательству»[134].

Помимо доказательства Прокла, которое мы здесь приводить не будем, существовали и многие другие «доказательства» V постулата. Общей их чертой было то, что все они основывались на явном или неявном введении новой аксиомы, эквивалентной аксиоме о параллельных. Многим математикам, работавшим в этой области, уже казалось, что идеал геометрии, как строгой науки, достигнут, что удалось очистить Евклида «от всех пятен». (Итальянский геометр Саккери, которому принадлежат известные заслуги в деле подготовки неевклидовой геометрии, назвал свой труд: «Евклид, очищенный от всех пятен».)

«Доказательства постулата Евклида, – писал в 1763 г. немецкий математик и философ Ламберт, – могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, одна мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат»[135].

Атмосфера, которая создалась вокруг вопроса о пятом постулате, хорошо выражена в письме венгерского математика Вольфганга Больяя своему сыну Иоганну, будущему создателю (независимо от Лобачевского, но несколько позднее его) неевклидовой геометрии: «Молю тебя, не делай только и ты попыток одолеть теорию о параллельных линиях; ты затратишь на нее все свое время, а предложения этого вы не докажете все вместе... Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть на земле чем-либо совершенным даже в геометрии. Это большая и вечная рана в моей душе»[136].

И тем не менее этот «беспросветный мрак» был очень скоро рассеян трудами Н.И. Лобачевского и Я. Больяя[137]. Lumen ex orient, свет, как говорится, пришел с востока.

«Напрасное старание со времен Евклида, – пишет Н.И. Лобачевский, – в продолжение двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты»[138].

Лобачевский не только отказался от доказательства аксиомы о параллельных, но и построил геометрию, в аксиоматике которой содержится предложение, содержащее ее прямое отрицание: «Принимаем только то предложение справедливым, что перпендикуляр на линии параллельной встречает другую под острым углом»[139].

Это предложение эквивалентно следующим трем: 1) через точку, находящуюся вне прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две прямых, параллельных данной; 2) параллельные прямые пересекаются в некоторой точке; 3) сумма углов прямоугольного треугольника не есть величина постоянная (т.е. не равна 2 d).

С точки зрения привычного (физического) пространственного опыта все эти предложения не только не представляются очевидными, но и прямо чудовищными. Тем не менее, основываясь на этой аксиоме, Лобачевский построил математически безупречную систему – неевклидову геометрию.

При допущении неевклидовой аксиомы (аксиомы Лобачевского, сводящейся к утверждению, что угол параллелизма острый, или аксиомы Римана: угол параллелизма тупой) геометрия может быть построена вполне логично и непротиворечиво. Все геометрические теоремы оказываются выполнимыми и связь математических понятий безупречной. Математически истинность неевклидовой геометрии тем самым оказывается вне всяких сомнений, тогда как ее истинность с точки зрения нашего обычного физического опыта представляется весьма и весьма проблематичной. Физический смысл неевклидовой геометрии выяснился значительно позднее, в связи с разработкой сначала специальной (1905 г.), а затем и общей теории относительности (1916 г.).

Допущение, что сумма углов прямолинейного треугольника есть величина постоянная, утверждал Н.И. Лобачевский, «не представляет необходимого следствия из наших понятий о пространстве». «Только опыт, – продолжает Лобачевский, – например, фактическое измерение трех углов прямолинейного треугольника, может подтвердить истинность этого допущения». Аналогично говорит и Риман: те особые свойства, которыми Евклидово пространство отличается от других мыслимых трехмерно протяженных многообразий, «могут быть заимствованы только из опыта».

Перейти на страницу:

Похожие книги

MMIX - Год Быка
MMIX - Год Быка

Новое историко-психологическое и литературно-философское исследование символики главной книги Михаила Афанасьевича Булгакова позволило выявить, как минимум, пять сквозных слоев скрытого подтекста, не считая оригинальной историософской модели и девяти ключей-методов, зашифрованных Автором в Романе «Мастер и Маргарита».Выявленная взаимосвязь образов, сюжета, символики и идей Романа с книгами Нового Завета и историей рождения христианства настолько глубоки и масштабны, что речь фактически идёт о новом открытии Романа не только для литературоведения, но и для современной философии.Впервые исследование было опубликовано как электронная рукопись в блоге, «живом журнале»: http://oohoo.livejournal.com/, что определило особенности стиля книги.(с) Р.Романов, 2008-2009

Роман Романов , Роман Романович Романов

История / Литературоведение / Политика / Философия / Прочая научная литература / Психология
Основы философии (о теле, о человеке, о гражданине). Человеческая природа. О свободе и необходимости. Левиафан
Основы философии (о теле, о человеке, о гражданине). Человеческая природа. О свободе и необходимости. Левиафан

В книгу вошли одни из самых известных произведений английского философа Томаса Гоббса (1588-1679) – «Основы философии», «Человеческая природа», «О свободе и необходимости» и «Левиафан». Имя Томаса Гоббса занимает почетное место не только в ряду великих философских имен его эпохи – эпохи Бэкона, Декарта, Гассенди, Паскаля, Спинозы, Локка, Лейбница, но и в мировом историко-философском процессе.Философ-материалист Т. Гоббс – уникальное научное явление. Только то, что он сформулировал понятие верховенства права, делает его ученым мирового масштаба. Он стал основоположником политической философии, автором теорий общественного договора и государственного суверенитета – идей, которые в наши дни чрезвычайно актуальны и нуждаются в новом прочтении.

Томас Гоббс

Философия