Мозг и душа: как нервная деятельность формирует наш внутренний мир

Возьмем некоторое явление (А), о котором мы хотим узнать, и наблюдение (X), которое дает нам какие-то сведения об A. Теорема Байеса говорит нам, насколько увеличится наше знание об A в свете новых сведений X. Нам незачем вникать в детали этого уравнения. Главное – что это уравнение дает нам именно ту математическую формулу убеждений, которую мы искали. Убеждению в данном случае соответствует математическое понятие вероятности. Вероятность позволяет измерить, в какой степени я убежден в чем-то. Если я в чем-то совершенно уверен (например, в том, что утром взойдет солнце), вероятность равна единице [в форме уравнения это можно выразить так: p(взойдет солнце) = 1]. А если я совершенно уверен, что что-то никогда не случится, вероятность равна нулю [p(Крис Фрит выиграет конкурс "Евровидение") = 0]. Большинство наших убеждений не так тверды и занимают промежуточное положение между нулем и единицей [p(поезд, на котором я езжу на работу, опоздает) = 0,5]. И эти промежуточные убеждения постоянно изменяются по мере того, как мы получаем новые сведения. Прежде чем ехать на работу, я уточню положение поездов Лондонского метро в интернете, и эти новые сведения изменят мое убеждение о вероятности опоздания поезда (хотя и ненамного...).

Теорема Байеса показывает, насколько именно изменится мое убеждение относительно A в свете новых сведений X. В приведенном выше уравнении p(A) – мое первоначальное или априорное, убеждение об A до поступления новых сведений X, p(X|A) – вероятность получения сведений X в случае, если A действительно будет иметь место, а p(A|X) – мое последующее, или апостериорное, убеждение об A с учетом новых сведений X. Все это станет понятнее на конкретном примере.

Вас, вероятно, удивило, почему это Брэдли Карлин, профессор здравоохранения из Университета Миннесоты, так интересуется теоремой Байеса. Дело в том, что здравоохранение – одна из тех многих областей, где теорема Байеса находит свое применение.

Рассмотрим проблему рака груди.[123] Обратимся к частному случаю, связанному с эффективностью массовых обследований. Мы знаем (это наше априорное убеждение), что к 40 годам у 1% женщин развивается рак груди (p(A) = 0,01). Кроме того, у нас есть хороший метод выявления рака груди – маммография (этот метод дает нам новые сведения). Результат маммографии будет положительным у 80% женщин с раком груди (p(X|A) = 0,8) и лишь у 9,6% женщин без рака груди (p(X|~A) = 0,096). Таковы вероятности получения наших сведений в случае, если наше убеждение истинно. Судя по этим цифрам, кажется очевидным, что регулярные обследования на предмет наличия рака груди – вещь хорошая. Итак, если мы обследуем всех женщин, то какова будет среди тех, у кого обследование даст положительный результат, доля тех, у кого действительно будет рак груди, то есть каково будет значение p(A|X)?

Учитывая, что этот метод кажется хорошим, каково будет ваше убеждение относительно женщины, для которой только что получен положительный результат маммографического обследования на рак груди? Большинство людей сказали бы, что у нее, скорее всего, рак груди. Но применение теоремы Байеса показывает, что это мнение ошибочно. Мы можем легко убедиться в этом, если на время забудем о вероятностях. Вместо этого давайте рассмотрим 10 000 женщин в возрасте 40 лет и старше.

Еще до обследования эти 10 000 женщин можно мысленно разделить на две группы:

Группа 1: 100 женщин с раком груди;

Группа 2: 9900 женщин без рака груди.

Группа 1 – этот тот 1% женщин, у которых развился рак: p(A)

После обследования женщин можно разделить на четыре группы:

Группа А: 80 женщин с раком груди и положительной маммографией;

Группа Б: 20 женщин с раком груди, но с отрицательной маммографией.

Группа В: 950 женщин без рака груди, но с положительной маммографией;

Группа Г: 8 950 женщин без рака груди и с отрицательной маммографией.

Группа А – это те 80% женщин с раком груди, у которых его выявляет маммография: p(X|A)

Группа В – это те 9,6% женщин, у которых нет рака груди, но результат маммографии положительный: p(X|~A).