На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы

Эти колебания называются стоячими волнами: в каждой их точке колебания происходят с той же частотой, что и у встречных волн. Волны свободно распространяются вдоль струны влево или вправо, затем они сталкиваются с закрепленными концами и возвращаются обратно. Две волны встречаются и расходятся в разные стороны, при этом их наложение друг на друга образует стоячую волну. Струна оказывается разделенной на равные сегменты точками соприкосновения — узлами стоячей волны, при этом оставшаяся часть струны колеблется. Узлы первой, или фундаментальной частоты (ее также называют гармоникой) находятся на концах струны, для второй гармоники добавляется один узел, в середине струны, для третьей — два, делящие струну на трети, и так далее (см. рисунок).

Изображение струны

Чтобы лучше понять волновое уравнение, можно проиллюстрировать колебания струны с помощью серии фотографий. На каждой из них время останавливается, позволяя уловить профиль волны, наподобие изображенного на рисунке 1.

РИС. 1

Расположение струны в момент t_r

Затем мы засекаем промежуток времени (ось абсцисс) и вновь отпускаем струну, концентрируя внимание на ее точке и наблюдая изменение ее положения. Изобразим это изменение, учитывая, что струна колеблется сверху вниз. Если мы расположим эти фотографии рядом, то заметим, что последовательность точек образует вторую волну (рисунок 2). Также изменение расположения точки в зависимости от времени может быть представлено таким образом, как на рисунке 3.

РИС. 2

Последовательность рисунков отображает изменение высоты точки струны (зафиксированное положение в момент времени x₁).

РИС. 3

Изменение положения струны, колеблющейся снизу вверх, в точке х₁

Уравнение

говорит нам, что скорость, с которой изменяется касательная к струне, изображенная на графике ее пространственного изменения

пропорциональна скорости, с которой меняется касательная на графике временного изменения

Если, например, коэффициент Т/р больше 1, волна будет более сжатой на временной оси, чем на пространственной (рисунок 4).

РИС. 4

Если Т/р меньше 1, отношение обратное; если Т = р, касательная изменяется одинаково в пространстве и во времени.

Иными словами, мы видим перед собой классическое описание работы струнного музыкального инструмента, сделанное с помощью постоянной функции, но со своими переменными, частотой, квантами. Между квантованием энергии уравнения Бора (1) для атомов и уравнением частоты гармоник нет существенного различия. Подчеркнем, что эта мощная аналогия до сих пор не привлекала внимания физиков, однако Шрёдингер не прошел мимо. Его уравнение предполагает бесконечность чисто математических решений, но если ввести дополнительные условия, то один из его параметров — энергия — становится квантованным.

фундаментальная или первая гармоника

вторая гармоника

третья гармоника

Первая статья Шрёдингера, посвященная структуре атома, называлась «Квантование как задача о собственных значениях» (1926). Под термином «собственное значение» имеется в виду параметр, который является квантованным после наложения на дифференциальное уравнение определенных условий. В этой статье Шрёдингер определенно ссылается на колебания струны. Целые числа, возникающие при рассмотрении атома водорода, получаются «естественным образом, сами по себе, подобно тому как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено, и я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования».

Пришло время вернуться к выражению: