Начало бесконечности

Собственно говоря, нет такой вещи, как математическое «вдохновение» (то есть появления математического знания из безошибочного источника, традиционно считающегося Богом): как я объяснял в главе 8, наши математические знания не безошибочны. Но если конгрессмен Миллс имел в виду, что математики могут или неким образом обязаны лучше всех в обществе судить о справедливости, то он просто ошибался[90]. В комиссию Национальной академии наук США, которая готовила доклад для конгресса в 1948 году, входил математик и физик Джон фон Нейман. Комиссия пришла к заключению, что правило, изобретённое статистиком Джозефом Хиллом (и используемое в настоящее время), менее всего предвзято по отношению к штатам. Но после этого математики Мишель Балинский и Пейтон Янг впоследствии показали, что правило Хилла благоволит штатам меньшего размера. Это ещё раз иллюстрирует, что различные критерии «беспристрастности» отдают предпочтение различным методам пропорционального распределения и математика не может определить, какой из этих критериев правильный. Если жалоба Миллса и носила иронический характер, если в действительности он имел в виду, что сама по себе математика, наверное, не может приводить к несправедливости и что сама по себе она не может избавить от неё, то он был прав.

Однако существует математическое открытие, которое навсегда изменило природу споров о пропорциональном распределении: теперь мы знаем, что поиск метода пропорционального распределения, который будет и пропорционален, и свободен от парадоксов одновременно, никогда не завершится успехом. Это доказали Балински и Янг в 1975 году.

Теорема Балинского — Янга

Всякий метод пропорционального распределения, который удовлетворяет правилу квоты, приводит к парадоксу населения.

Эта сильная теорема о невозможности объясняет длинную цепочку исторических неудач в решении задачи пропорционального распределения. Не говоря уже о различных других условиях, которые могут показаться существенными для обеспечения справедливого распределения, ни один метод не может удовлетворить даже базовым требованиям пропорциональности и не позволяет избежать парадокса населения. Балинский и Янг также доказали теоремы о невозможности и для других классических парадоксов.

Эта работа имела гораздо более широкий контекст, чем проблема пропорционального распределения. На протяжении XX века и особенно после Второй мировой войны основные политические движения пришли к согласию в том, что будущее благосостояние человечества будет зависеть от совершенствования в области планирования и принятия решений в масштабах общества (а лучше в мировых масштабах). Западный взгляд отличался от подходов тоталитарных противников тем, что был нацелен на удовлетворение предпочтений отдельных граждан. Таким образом, западные сторонники планирования в масштабах общества были вынуждены взяться за фундаментальный вопрос, с которым тоталитаристы не сталкивались: когда перед обществом в целом встаёт выбор, а предпочтения граждан разнятся, какой вариант выбора является для общества наилучшим? Если люди единодушны в выборе, то проблемы нет, но планировщик тогда не нужен. Если же они не единодушны, то какой вариант можно рационально обосновать как «волю народа» — вариант, к которому «склоняется» общество? И тогда возникает второй вопрос: как в обществе должен быть организован процесс принятия решений, чтобы выбирались действительно те варианты, к которым общество «склоняется»? Эти два вопроса существовали, по крайней мере неявно, с самого зарождения современной демократии. Например, и в Декларации независимости США, и в Конституции США говорится о праве «народа» на определённые действия, например на смену правительства. Сегодня эти вопросы стали центральными в области математической теории игр, называемой теорией социального выбора.

Таким образом, теория игр, ранее малоизвестная и немного странная ветвь математики, вдруг оказалась в центре деятельности человека, как до неё — ракетостроение и ядерная физика. Многие из величайших математических умов, включая фон Неймана, занялись развитием теории игр в интересах бесчисленного множества учреждаемых институтов коллективного принятия решений. Предстояло создать новые математические инструменты, с помощью которых можно, учитывая пожелания, потребности или предпочтения членов общества, сделать вывод о том, чего «хочет» общество, реализуя тем самым установку на осуществление «воли народа». Они также должны были определить, какие системы голосования и законотворчества дадут обществу то, что оно хочет получить.