Начертательная геометрия: конспект лекций

Аналогично можно доказать, что и любые другие одноименные проекции обеих прямых также будут параллельны друг другу.

Верно и обратное утверждение: прямые параллельны, если на эпюре их одноименные проекции параллельны.

Если известно, что горизонтальные и фронтальные проекции прямых I и II параллельны, будет справедливо следующее: 1 || 2 и 1|| 2 (рис. 29).

В этом случае можно сказать, что плоскости Р_I и Р_II, проецирующие прямые I и II на горизонтальную плоскость, параллельны, так как в этих плоскостях можно указать по паре пересекающихся соответственно параллельных прямых (прямые 1 и 2 и проецирующие лучи). Аналогично плоскости Q_I и Q_II будут параллельны.

Прямая I находится в пересечении плоскостей Р_I и Q_I, а прямая II – в пересечении плоскостей Р_II Q_II. Отсюда получаем, что прямая I параллельна плоскости Р_II, потому что находится в плоскости, ей параллельной. Однако прямая I параллельна и плоскости Q_II. Поэтому прямая I параллельна линии пересечения плоскостей Р_II и Q_II, т. е. прямой II.

Доказательство обратного утверждения не имеет смысла для профильных прямых. Это объясняется тем, что тогда вместо двух плоскостей, проецирующих прямую на горизонтальную и фронтальную плоскости, существует только одна, дважды проецирующая плоскость (рис. 30).

Видно, что вне зависимости от расположения двух профильных прямых I и II в пространстве их горизонтальные и фронтальные проекции всегда параллельны (или сливаются).

Прямые будут являться скрещивающимися, если они не параллельны и не пересекаются. Это вытекает из того, что возможны только три случая взаимного расположения прямых.

Для скрещивающихся прямых справедливы утверждения:

1) точки пересечения одноименных проекций на горизонтальной и фронтальной плоскостях не лежат на одном перпендикуляре к оси х (прямые I и II на рис. 31).

2) хотя бы в одной паре одноименные проекции не параллельны (прямые III и IV на рис. 31).

Рисунок 31 показывает проекции четырех прямых, любая пара из которых скрещивается.

Как и в рассмотренных ранее случаях, обратное утверждение для скрещивающихся прямых несправедливо при условии, что хотя бы одна из прямых является профильной.

5. Перпендикулярные прямые

Рассмотрим теорему: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций (или лежит в ней), то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажения.

Приведем доказательство для прямого угла ABC, одна сторона которого ВС параллельна горизонтальной плоскости (рис. 32).

Плоскость, в которой находится сторона угла АВ и ее проекция ab, перпендикулярна горизонтальной плоскости, так как содержит перпендикуляр Вb к этой плоскости. Прямая ВС перпендикулярна плоскости Q вследствие ее перпендикулярности двум пересекающимся прямым этой плоскости (АВ и Вb). Прямая bc параллельна ВС, т. е. она также перпендикулярна Q, а значит и прямой ab, которая лежит в ней.

Ясно, что если на эпюре одна пара одноименных проекций двух прямых перпендикулярна, а одна из двух остальных проекций параллельна оси х, то такие прямые образуют в пространстве прямой угол.

Предположим, что ab bc, bс || x.

Это показано на рисунке 33.

Можно провести через проекцию аb плоскость Q, проектирующую прямую АВ на горизонтальную плоскость (рис. 33). Проекция bс перпендикулярна плоскости Q вследствие того, что она перпендикулярна двум прямым этой плоскости, т. е. проекции аb (по условию), и проецирующему лучу Вb как перпендикуляру горизонтальной плоскости.

Прямая ВС является параллельной горизонтальной плоскости, так как ее фронтальная проекция bс параллельна оси х, поэтому она параллельна своей горизонтальной проекции, т. е. справедливо выражение ВС || bс. Следовательно, прямая ВС перпендикулярна плоскости Q и поэтому перпендикулярна прямой АВ вне зависимости от ее положения в плоскости Q.

Через некоторую точку М можно провести огромное количество прямых, которые перпендикулярны данной прямой АВ. Они образуют целую плоскость Р, перпендикулярную АВ (рис. 34).

Из всех перпендикулярных прямых, которые при этом образуются, только одна пересекает данную прямую. Это прямая MN, которая проходит через точку N пересечения прямой АВ и плоскости Р.

Под перпендикуляром к прямой подразумевается прямая, не только перпендикулярная данной прямой, но и пересекающая в отличие от просто перпендикулярных скрещивающиеся прямые.

Прямой угол между скрещивающимися прямыми проецируется на данную плоскость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости или лежит в ней.

Лекция № 4. Плоскость

1. Определение положения плоскости

Для произвольно расположенной плоскости проекции ее точек заполняют все три плоскости проекций. Поэтому не имеет смысла говорить о проекции всей плоскости целиком, нужно рассматривать лишь проекции таких элементов плоскости, которые ее определяют.

На основании законов стереометрии плоскость определяется, когда известны принадлежащие ей:

1) три точки, не лежащие на одной прямой;

2) прямая и точка, не находящаяся на этой прямой;