Наибольший общий делитель (НОД)

Предисловие

В данной книге приводятся четыре алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, необходимая теория, формулы, 29 примеров с решениями, 140 упражнений с ответами.

Наибольший общий делитель (НОД) [двух чисел] Теоретический материал

В таблице приведем два способа определения НОД.

Алгоритм №0.

Не является рациональным способом нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

Выпишем все делители чисел 32 и 24.

Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Общими делителями 24 и 32 являются: 1, 2, 4, 8.

Наибольший из них – 8. Обозначается НОД(24;32)=8.

Замечание. Вышеизложенный алгоритм №0 не является рациональным способом нахождения НОД (им можно воспользоваться в том случае если вы забыли способы нахождения НОД).

Определение 3. Натуральные числа a и b называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1, то есть НОД(a; b) = 1.

Иначе выражаясь, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты.

Пример 3.

1) Числа 2 и 5 взаимно простые (и сами они простые);

2) 2 и 9 взаимно простые (2 – простое, 9 – составное);

3) 8 и 9 взаимно простые (и оба они составные);

Замечание. Как видно из случаев, приведенных в примере 2, понятия «простые числа» и «взаимно простые числа» не имеют особой связи между собой.

Правило. Если одно из данных чисел [36] является делителем другого числа [72], то оно [36] будет являться наибольшим общим делителем данных чисел [72 и 36].

Формулы, необходимые для алгоритма №1

Для вычисления по алгоритму №1 необходимо знать формулы

Замечание. Формулу a⁰=1 мы будем использовать «справа налево», то есть 1=a⁰.

Единицу мы будем представлять как 2⁰, как 3⁰, как 5⁰, как 7⁰, как 11⁰, …

1=2⁰, 1=3⁰, 1=5⁰, 1=7⁰, 1=11⁰, …

Алгоритм №1

Рекомендуемый способ нахождения

наибольшего общего делителя двух чисел

Алгоритм №1.

1) Разложить данные числа на простые множители;

2) выбрать наименьшие степени множителей из разложений данных чисел;

3) перемножить выбранные множители в наименьших степенях.

Кратко (для заучивания, нестрогое правило): разложить на множители, выбрать наименьшие степени, перемножить.

Пример 1. Найти НОД (18; 14).

1) Разложим на простые множители числа 18 и 14:

18=2x3²=2x3²x1= 2¹x3²x7⁰,

14=2x7=2¹x1x7¹=2¹x3⁰x7¹.

2) В обоих разложениях множитель 2 встречается в первой степени. Значит, выписываем множитель 2¹ (НАИМЕНЬШИЙ!!!).

Множитель 3 встречается во второй и нулевой степени, значит, выписываем 3⁰ (наименьший).

Множитель 7 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 7⁰ (наименьший).

3) 2¹x3⁰x7⁰=2x1x1=2.

Ответ: НОД(18; 14)=2.

Замечание. Нулевая степень в разложении числа обозначает, что данный множитель входит в разложение числа ноль раз. Запись 18=2¹x3²x7⁰ означает, что множитель 7 входит ноль раз в разложение числа 18.

Пример 2. Найти НОД (36; 30).

1) Разложим на простые множители числа 36 и 30:

36=2²x3²= 2²x3²x1= 2²x3²x5⁰,

30=2x3x5=2¹x3¹x5¹.

2) Множитель 2 встречается во второй и первой степени, значит, выписываем 2¹ (наименьший).

Множитель 3 встречается во второй и первой степени, значит, выписываем 3¹ (наименьший).

Множитель 5 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 5⁰.

3) 2¹x3¹x5⁰=2x3x1=6

Ответ: НОД(36; 30)=6.

Пример 3. Найти НОД (9; 10).

1) Разложим на простые множители числа 9 и 10:

2) Множитель 2 встречается в первой и нулевой степени. Значит, выписываем множитель 2⁰.

Множитель 3 встречается во второй и нулевой степени, значит, выписываем 3⁰. Множитель 5 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 5⁰.

3) 2⁰x3⁰x5⁰=1x1x1=1.

Ответ: НОД(9; 10)=1.

Пример 4. Найти НОД (48; 88).

1) Разложим на простые множители числа 48 и 88:

48=2⁴x3¹= 2⁴x3¹x11⁰,

88=2³x3⁰x11¹.

2) Множитель 2 встречается в третьей и четвертой степени. Значит, выписываем множитель 2³.

Множитель 3 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 3⁰