Научная революция XVII века

В январе 1665 г. он составляет сводку результатов, относящихся к проблеме удара, под названием «Об отражении», в котором дает определения силы, количества движения и т. д.[17] Затем Ньютон высказал предположение, что при столкновении двух тел одно тело действует на другое точно так же, как это другое на первое, и получающиеся изменения в движении обоих тел оказываются одинаковыми. Но Ньютон сразу же понял, что это правило справедливо лишь для равных тел, участвующих в одинаковом движении, поэтому стал искать возможность представить различные движения как движения одинаковые. Такую возможность он увидел в том, чтобы рассматривать движения сталкивающихся тел относительно их общего центра тяжести.

Сначала он доказал, что два тела, движущиеся равномерно, имеют равные движения по отношению к их общему центру тяжести, а затем и то, что в этом случае центр тяжести будет либо покоиться, либо двигаться равномерно и прямолинейно. После этого Ньютон рассматривает общий случай соударения двух тел (представленный на рисунке). Здесь он также говорит о равных движениях тел b и с относительно линии kp или общего центра тяжести. Под словом «движение» надо понимать количество движения, которое имеет не только абсолютную величину, но и направление. Под термином «равные движения» понимаются количества движения, равные по абсолютной величине и направленные либо к общему центру тяжести, либо от него. После того как тела b и с сталкиваются, Ньютон говорит, что «насколько сильно b отжимает с от линии kp, настолько сильно и с отжимает b от нее». Следовательно, когда два тела будут находиться в e и g после столкновения, они будут иметь равные движения от их общего центра тяжести, который будет продолжать равномерно двигаться по линии kp. Таким образом, мы видим, что Ньютон пришел к векторному пониманию количества движения.

Рассмотрение проблемы удара самым тесным образом связано с последующим анализом вращательного движения. Вначале он рассматривает абсолютно упругий прямой удар шара о неподвижный экран. Несколько модернизируя рассуждения Ньютона, можно сказать, что изменение количества движения равно удвоенной его первоначальной величине. Такое же изменение количества движения будет иметь тело, движущееся по окружности при прохождении ее половины. Или, как пишет Ньютон, «вся сила», с которой тело стремится удалиться от центра при совершении полуоборота, вдвое больше той, которая потребна для того, чтобы породить движение. Между этими двумя случаями существует различие, заключающееся в том, что при ударе мы имеем мгновенно действующую силу, а при вращательном движении — силу, действующую постоянно.

Задача об ударе

К выводу формулы центробежной силы

Еще не понимая, что это за сила, Ньютон тем не менее стремится избежать такого различия и строит следующую модель (см. рисунок справа): шар, отражаясь от внутренней поверхности экрана в форме окружности, описывает замкнутую фигуру — квадрат. Если шар испытывает одно столкновение, то он описывает половину квадрата и проходит полуокружность; при этом горизонтальная (на чертеже) составляющая его скорости меняет свой знак на обратный, другая остается без изменений. Поэтому изменение этой компоненты при одном соударении равно ее удвоенной величине. Ньютон составляет пропорцию: «2fa : ab :: ab : fa :: сила или давление b на fg при отражении: силе движения b». Более привычная запись пропорции: 2fa/ab = ab/fa, она получается вследствие того, что отношение гипотенузы к катету в прямоугольных равнобедренных треугольниках неизменно. С другой стороны, ab есть мера скорости, а fa — мера ее горизонтальной составляющей. Тогда в современных обозначениях:

2fa/ab = Amv/mv = ab/fa = l/R,

где l — сторона квадрата, R — радиус окружности, mv — первоначальное количество движения, Δmv — изменение количества движения при одном соударении.

Ясно, что для четырех соударений, необходимых для описания шаром квадрата, Σ(Δmv)/mv = 4l/R. Если стороны квадрата постоянно удваивать, то получим для n-угольника: Σ(Δmv)/mv = nl/R, При n → ∞, nl → 2πR и Σ(Δmv)/mv = 2π, или Σ(Δmv) = 2π∙mv. Σ(Δmv) — полное изменение количества движения за один оборот, следовательно, Σ(Δmv) = F∙T, где T = 2πR/v, откуда

F = mv²/R.

Этот вывод формулы для центробежной силы отличается от ньютоновского только терминологией: Ньютон называл mv силой движения шара, Δmv — давлением, или силой одного столкновения (отражения), Σ(Δmv) —суммарной силой, a F— силой, в результате действия которой тело удаляется от центра в каждое мгновение.