Наука логики

Если более тщательно сравнить между собой положения какой-нибудь синтетической науки, и в особенности геометрии, то обнаружится следующее различие: одни теоремы этой науки содержат лишь отдельные отношения предмета, другие же – такие отношения, в которых выражена исчерпывающая определенность предмета. Весьма поверхностно рассматривать все положения как равноценные на том основании, что-де вообще каждое из них содержит некоторую истину и что они в формальной процедуре, в ходе доказательства одинаково существенны. Различие, касающееся содержания теорем, самым тесным образом связано с самой этой процедурой; некоторые дальнейшие замечания о ней послужат к тому, чтобы больше выяснить указанное различие, равно как и природу синтетического познания. Прежде всего [необходимо отметить следующее]: Евклидова геометрия, которая должна служить здесь примером как представительница синтетического метода, будучи его наиболее совершенным образцом, издавна превозносится за порядок расположения в ней теорем – каждой теореме предпосылаются как уже ранее доказанные те положения, которые требуются для ее построения и доказательства. Это обстоятельство касается формальной последовательности; как ни важна такая последовательность, она все же больше касается внешнего упорядочения сообразно цели и сама по себе не имеет никакого отношения к существенному различию между понятием и идеей, в котором заключается более высокий принцип необходимости движения вперед. – А именно, в дефинициях, с которых начинают [в геометрии], постигается чувственный предмет как непосредственно данный и определяют его по его ближайшему роду и видовому отличию, которые также суть простые, непосредственные определенности понятия – всеобщность и особенность, – отношение между которыми не развертывается дальше. Начальные теоремы сами не могут опираться ни на что другое, кроме таких непосредственных определений, как те, чтó содержатся в дефинициях; а равно и их взаимная зависимость может иметь прежде всего лишь то общее, что одно определение вообще определено другим. Так, первые теоремы Евклида о треугольниках касаются лишь конгруэнтности, т. е. вопроса о том, сколько частей должно быть определено в треугольнике, чтобы были вообще определены и остальные части того же треугольника, иначе говоря, весь треугольник в целом. То, что сравниваются друг с другом два треугольника и конгруэнтность усматривают в наложении [одного треугольника на другой], – это уловка, в которой нуждается метод, долженствующий пользоваться физическим наложением вместо мысленного – быть определенным (Bestimmtsein). Помимо этого, рассматриваемые отдельно, эти теоремы сами содержат две части, из которых одну можно считать понятием, а другую – реальностью, тем, чтó завершает понятие, сообщая ему реальность. А именно, то, чтó полностью определяет [треугольник] (например, две стороны и заключенный между ними угол), есть для рассудка уже весь треугольник; для исчерпывающей определенности треугольника ничего больше не требуется; остальные два угла и третья сторона – это уже избыток реальности над определенностью понятия. Поэтому результат указанных теорем, собственно говоря, таков: они сводят чувственный треугольник, во всяком случае нуждающийся в трех сторонах и трех углах, к [его] простейшим условиям; дефиниция вообще упомянула лишь о трех линиях, замыкающих плоскую фигуру и делающих ее треугольником; лишь теорема выражает то, что углы определены определенностью сторон, равно как другие теоремы указывают на зависимость других трех частей треугольника от трех упомянутых частей. – Исчерпывающую определенность величины треугольника по его сторонам внутри его самого содержит Пифагорова теорема; лишь она есть уравнение сторон треугольника, тогда как предшествующие теоремы доходят лишь вообще до установления определенности его частей по отношению друг к другу, а не до уравнения. Вот почему эта теорема есть совершенная, реальная дефиниция треугольника, а именно прежде всего прямоугольного треугольника, наиболее простого и своих различиях и потому наиболее правильного. – Этой теоремой Евклид заканчивает первую книгу, так как теорема и в самом деле есть достигнутая совершенная определенность. Подобным же образом Евклид, после того как он предварительно свел к чему-то равномерному отягощенные бóльшим неравенством непрямоугольные треугольники, заканчивает свою вторую книгу сведéнием прямоугольника к квадрату, – уравнением между равным самому себе (квадратом) и неравным внутри себя (прямоугольником); точно так же и гипотенуза, соответствующая прямому углу, [т. е.] тому, чтó равно самому себе, составляет в Пифагоровой теореме одну сторону уравнения, а другую сторону образует неравное себе, а именно два катета. Указанное уравнение менаду квадратом и прямоугольником лежит в основании второй дефиниции круга, которая опять-таки есть Пифагорова теорема, поскольку катеты принимаются за переменные величины: первое уравнение круга находится в таком же отношении чувственной определенности к уравнению, в каком вообще находятся друг к другу две различные дефиниции конических сечений.