Небесные механики

– Солнце достигло максимальной высоты в двенадцать часов и пятьдесят восемь минут.

– И что дальше? – спросила Галатея, доедая жаркое с картофельным пюре.

– А вот что, – сказал Майкл и взялся за телефон. – Я позвоню своему сыну, Роберту. Он сейчас в Лондоне и, думаю, не откажется нам помочь.

Роберт откликнулся почти сразу.

– Привет, сын, ты сейчас где?

– Гуляю с друзьями по Кембриджу.

– А не мог бы ты съездить в Гринвичскую обсерваторию. Это недалеко от тебя.

– Конечно, могу. А зачем?

– Я прошу тебя засечь время самой короткой тени от какой-нибудь заостренной длинной палки, а также измерить угол тени – вернее, отклонение Солнца от вертикали в этот момент. У нас время самой короткой тени было в 12 часов 58 минут.

Роберт заинтересовался, задал несколько вопросов и замолчал на пару минут. Потом он громко сообщил, что все его приятели, оказывается, давно хотели посмотреть на легендарную Гринвичскую обсерваторию – и что они, все как один, горят желанием принять участие в эксперименте по измерению тени.

Галатея едва дождалась конца разговора Майкла с сыном и нетерпеливо воскликнула:

– Но ведь они опоздали! Время короткой тени уже прошло!

Майкл отрицательно покачал головой:

– Оно прошло на нашей долготе. На долготе Лондона Солнце ещё не забралось на вершину своей траектории.

– Ах, вот оно что… – протянул Андрей и стал горячо объяснять сестре, почему лондонцы отстают от них.

– Давайте измерим угол тени, – сказал Майкл. Он вынул из кармана ключи с брелком и вытянул из брелка тонкую измерительную нить. – Определяем высоту зонтика над поверхностью стола, потом – длину кратчайшей тени. Если длину тени поделить на высоту зонтика, то получим тангенс верхнего угла в треугольнике, образованного зонтиком, тенью на столе и солнечным лучом, который скользнул по концу зонтика. С помощью калькулятора легко вычислим, что угол отклонения солнечного луча от вертикали – 29 с половиной градусов.

– Я не знаю, что такое тангенс! – насупилась Галатея.

– Тангенс – это очень простая штука, я сейчас объясню, – сказал Майкл. – Вот смотри, предположим, что длина нашей тени равна длине зонтика. Чему равен верхний угол в таком треугольнике?

– Это я знаю, – облегченно сказала Галатея. – Такой треугольник стал половиной квадрата, значит, верхний угол стал равен половине прямого угла, или 45 градусам.

– Верно! – просиял Майкл и быстро написал на листке бумаги слева 45 градусов, а справа единицу – результат деления тени на зонтик. – А если длина тени стремится к нулю, то и угол равен нулю! – И Майкл добавил два нуля в таблицу – только в самый низ страницы. – Теперь будем задаваться другими значениями отношения длины тени и зонтика – от единицы до нуля, а потом станем измерять получившиеся углы. Так мы заполним все строчки в таблице. Например, для длины тени вползонтика мы можем измерить верхний угол – и он окажется равным 26,6 градуса. Можешь ли ты, Галатея, заполнить такую таблицу сама, если я дам тебе линейку для черчения треугольников и угломер для измерения углов?

– Конечно, могу, – заявила Галатея. – Это и кошка смогла бы сделать.

– Прекрасно! – улыбнулся Майкл. – Теперь представь, что какой-то древний математик сделал это впервые, посмотрел на получившуюся таблицу и сказал: «Отношение горизонтальной и вертикальной сторон в таком прямоугольном треугольнике является функцией верхнего угла. Отныне пусть эта функция называется тангенсом!»

– Вот так просто? – не поверила ушам Галатея. – Взять составить таблицу примитивных измерений и объявить это тангенсом?

– Да, только надо сделать это первым. А потом надо ввести эту таблицу во все калькуляторы. И теперь, когда я сообщаю калькулятору, что верхний угол в моём треугольнике равен 29 с половиной градусов, то он сразу сверяется с таблицей тангенсов и отвечает, что длина тени составляет… э-э-э… примерно 56,5 процента от длины зонтика.

– Если я возьму и составлю таблицу верхнего угла и отношений горизонтальной тени не к длине зонтика, а к длине наклонной линии в этом треугольнике, это ведь будет другая функция? – спросила недоумевающая Галатея.

– Конечно! – воскликнул Майкл. – Это будет функция, которая называется синусом! Ты самостоятельно переоткрыла новую тригонометрическую функцию!

Галатея польщенно хмыкнула и напряженно впилась взглядом в таблицу.

– Неужели до сих пор не понятно? – поддел её Андрей. – Кошка бы уже поняла!

Потом он повернулся к Майклу и спросил:

– Значит, арктангенс – это наша таблица, только читаемая в другую сторону?

Майкл согласился:

– Да, я могу сначала посмотреть на отношение длины зонтика и тени, а потом найти по таблице величину верхнего угла. Эта процедура будет называться вычислением арктангенса.

– Постойте-постойте! – воскликнула Галатея. – Объясните мне вот что…

Дети спорили про синусы и тангенсы до тех пор, пока не принесли вкуснейшие пирожные и душистый чёрный чай с мятой. А Дзинтара наклонилась к Майклу и тихо сказала:

– Спасибо за то, что открыл для детей тангенс!

Пока то да сё – время пролетело, и позвонил Роберт.

– У нас Солнце достигло максимальной высоты в 1 час и 4 минуты!