Невозможность второго рода. Невероятные поиски новой формы вещества

У широких и узких ромбоэдров, которые мы с Довом делали из картонных разверток, были правила совмещения, но не было ничего подобного плоскостям Амманна или правилам дефляции-инфляции. Перед нами с Джошем стояла задача найти другой набор строительных блоков, обладающий всеми тремя свойствами. Для достижения этой цели в сложном случае трехмерной икосаэдрической симметрии требовались значительные математические усилия, сравнимые с теми, что приложил Пенроуз, создавая свои двумерные схемы. Но при успехе мы показали бы, что рост квазикристаллов в жидкости может быть таким же простым и естественным, как рост обычных кристаллов.

Но действительно ли существуют строительные блоки, обладающие всеми тремя свойствами?

Мы с Джошем задались целью ответить на этот вопрос. Вскоре после выхода первой статьи по квазикристаллам в конце 1984 года мы начали активно работать над новым математическим подходом к генерации квазикристаллов, основываясь на уроках, полученных при изучении мозаик Пенроуза.

В нашем подходе причудливым образом сочетались алгебраические выкладки, требующие лишь карандаша и бумаги, и трехмерные физические геометрические конструкции. Алгебраические уравнения требовалось решать, чтобы предсказывать точные положения амманновских плоскостей в трех измерениях, – этим занимался я. Джош затем смотрел, где эти плоскости пересекаются, и применял наш обобщенный мультисеточный метод, чтобы определять формы строительных блоков и то, как через них проходят амманновские плоскости.

То, что физически мы работали в двух разных местах, дополнительно усложняло наш проект. Джош находился в Пенсильванском университете в Филадельфии, а я все еще был в научном отпуске, на время которого стал приглашенным сотрудником Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. До изобретения “Скайпа” оставалось еще около двадцати лет. Так что общаться мы с Джошем могли только по телефону, что исключало обмен изображениями.

Я звонил Джошу и описывал, что говорят мои алгебраические выкладки относительно расположения амманновских плоскостей. Затем он описывал мне строительные блоки, соответствующие моим вычислениям. Джошу удавалось объединять наши разрозненные идеи и конструировать поистине замечательные физические модели из листов прозрачного цветного пластика, которые и сегодня украшают полку в моем кабинете. Увидев несколько недель спустя эти модели, я был поражен тем, как идеально наши вычисления сошлись друг с другом. Мы подали совместную статью в журнал Physical Review B в сентябре 1985 года. Не оставалось сомнений, что мы решили проблему.

Теперь мы знали, что существуют строительные блоки с икосаэдрической симметрией, обладающие правилами совмещения, амманновскими плоскостями и правилами дефляции-инфляции. У них были все свойства двумерных плиток Пенроуза, но только с более сложной симметрией. Наша работа имела прямое отношение к объяснению реально существующих квазикристаллов с икосаэдрической симметрией.

Мы с Джошем наконец нашли производственную компанию, которая смогла изготовить четыре типа строительных блоков, изобретенных нами для решения проблемы. У этих пластиковых блоков были специально сконструированные соединения, как у кубиков лего, которые вынуждали соблюдать все наши правила совмещения.

Одной из фигур был все тот же широкий ромбоэдр, который использовали мы с Довом. Это белые блоки на иллюстрации справа (см. также иллюстрацию на обложке). Три другие фигуры отличались от всего, что мы с Довом изучали прежде. У них сложные греческие названия, основанные на числе граней, являющихся ромбами одинаковых размеров и формы. На самом деле эти названия не так уж важны, но для тех, кому нравится практиковаться в греческом языке, я приведу их в порядке увеличения размера: ромбододекаэдр (двенадцать ромбических граней), ромбоикосаэдр (двадцать ромбических граней) и ромботриаконтаэдр (тридцать ромбических граней).

Должен признаться, мне очень понравились изготовленные блоки. Они не только иллюстрировали то, как новые строительные блоки соединяются друг с другом, но также демонстрировали большой шаг вперед по сравнению с поделочными экспериментами, которые мы с Довом проводили сначала с пенопластовыми шариками и каркасной проволокой, а потом с картонными развертками и магнитами.

На иллюстрации справа в середине показаны несколько слоев, где видно, как эти четыре типа трехмерных фигур соединяются друг с другом.

Наши математические достижения придали мне гораздо больше уверенности в том, что нам более не встретится теоретических препятствий, мешающих перенести концепцию квазикристаллов из абстрактного мира двумерных мозаик Пенроуза в мир реального трехмерного вещества.