Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы

Таким образом, своим образованием Ньютон обязан не столько лекциям, сколько научным книгам и трактатам. Он довольно рано серьезно проштудировал «Геометрию» Декарта, впервые опубликованную в 1637 году как приложение к «Рассуждению о методе». Юноша начал с изучения первых десяти страниц. Он останавливался каждый раз, когда у него скапливалось определенное количество вопросов, и снова возвращался к началу. Этот цикл повторялся, пока Ньютон не приходил к полному пониманию изложенного, затем он двигался дальше, а когда после нескольких новых страниц у него вновь накапливалось непонимание, опять возвращался в начало. В конце концов, попытка за попыткой, Ньютон изучил это сложнейшее произведение французского философа.

Позже, во время создания анализа бесконечно малых, эти знания сослужили Ньютону отличную службу.

После трех лет, проведенных в Кембридже, Исаак вернулся в Вулсторп: университет был вынужден закрыться в связи с эпидемией чумы. Ньютон пробыл дома почти 20 месяцев в 1665 и 1666 годах. Это время стало исключительно плодотворным и даже получило определение anni mirabiles (год чудес) Ньютона: анализ бесконечно малых, механика, гравитация, теория цвета, разработка бинома, который теперь носит его имя, – и это далеко не все идеи, обдуманные в этот удивительный период.

БИНОМ НЬЮТОНА

В своем самом распространенном значении термин «бином» означает любое выражение, состоящее из двух слагаемых. Ньютон создал простую формулу в виде ряда, позволяющую рассчитать результат возведения любого бинома в степень. Согласно ей:

Например, возьмем m = 1 и n = 2. Формула позволяет извлечь квадратный корень из числа, основанный на бесконечном ряде:

С помощью приведенной выше формулы Ньютон смог разложить на слагаемые большую часть элементарных функций: обратных тригонометрических (арксинус, арккосинус и арктангенс) и тригонометрических (синус, косинус и тангенс); аналогичным образом он рассчитал логарифмические и экспоненциальные функции. Формула для расчета бинома, открытая, по словам самого Ньютона, в 1665 году, стала ключевым моментом в создании и последующем развитии анализа бесконечно малых.

АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Из всех математических открытий Ньютона самым значительным и повлекшим огромное количество научных достижений стал, без сомнения, анализ бесконечно малых, хотя очень важны и другие его математические работы, например сделанные в сфере аналитической геометрии или вычислительной математики.

Достижения Ньютона и Лейбница были уточнены и дополнены последующими математиками, такими как Огюстен Луи Коши (1789-1857) или Карл Вейерштрасс (1815-1897), и легли в основу дифференциального и интегрального анализа – области математики, которая изучает количественное изменение так же, как геометрия изучает формы, и используется при решении огромного количества технических и физических задач.

Анализ бесконечно малых является самым мощным и эффективным инструментом, когда-либо созданным математиками, он состоит из двух разделов: дифференциального (его основное понятие – производная) и интегрального исчисления.

ПРОИЗВОДНАЯ

Производная – это фундаментальное понятие не только дифференциального исчисления или математики, но и всей науки в целом. Этот термин объединяет скорость или силу в физике, тангенс в геометрии…

В общих словах производная – это мера того, как изменяются значения функции в зависимости от значений, которые принимают ее переменные. Например, если у нас есть функция, описывающая положение объекта в каждое мгновение времени, то производная этой функции будет описывать, как меняется положение объекта в разные моменты времени (учитывая скорость объекта).

Рассмотрим две функции: с одной стороны – функция s, которая в каждый отрезок времени t определяет расстояние s(t), проходимое телом; с другой – функция v, которая в каждое мгновение времени t определяет скорость v(t), с которой тело движется. Рассмотрим следующее выражение: s(t) = sqrt(t) и v(t) = t^2 . Обе функции принимают значение 1 при t = 1: s(1) = 1 и v(1) = 1. Однако таблица значений показывает, что вблизи значения t = 1 функции изменяются по-разному.

t

s(t)

v(t)

0,8

0,8944

0,64

0,9

0,9486

0,81

1

1

1

1,1

1,0488

1,21

1,2

1,0954

1,44