Год 1720-й ознаменован выходом английского перевода «Универсальной арифметики» — его выпустил Рафсон, через два года вышло второе латинское издание, за печатанием которого следил молодой математик Мэчин. Ньютон просил его написать и предисловие к книге, но тот в течение трёх лет так и не выполнил своего обещания, после чего Ньютон сделал вывод о том, что он, видимо, плоховато знает алгебру.
Нельзя было далее медлить с новым изданием «Начал». Уже и второе издание стало редкостью. Континентальные философы настояли на его перепечатке в Амстердаме — между вторым и третьим латинскими изданиями в Англии вышло два латинских издания на континенте. Ньютон уже много лет исподволь делал на тексте второго издания свои пометки. По его просьбе производят новые эксперименты, наблюдения и расчёты. В 1719 году Дезагюйе по настоянию Ньютона уточнил в соборе святого Павла эксперименты Галилея; он сравнивал скорость падения свинцовых шаров пяти дюймов в диаметре с падением лёгких полых сфер того же размера из бычьих пузырей.
Ньютон чувствовал, что при подготовке третьего издания ему уже никак не обойтись без помощника. И тут судьба снова послала ему того, кто был необходим именно сейчас, — Генри Пембертона, молодого медика, ездившего за наукой в Голландию, в Лейден, к Бургаве. Ещё там, в «Нижних землях», Пембертон довольно легко вник в содержание «Начал», затем разобрался в исчислении и квадратурах.
Пембертон был прекрасным математиком. Он был одним из тех, кто решил, хотя и не полностью, лейбницевскую задачу — вызов английскому флагу и Ньютону лично.
Пембертон не терял ни одной возможности посрамить врагов своего кумира — Ньютона. Особенно ему удались опровержения опровержений Ньютона со стороны профессора Полени из Падуи. Полени изготовил «орех» — деревянный шар со свинцовым ядром с удельным весом, равным удельному весу воды. Бросив «орех» в реку, Полени наблюдал его отставание от течения реки, что, по его мнению, полностью опровергало тезис Ньютона об одинаковой скорости вихря и планеты. Пембертон написал весьма остроумное эссе — доказательство неправоты Полени. «Великого сэра Исаака Ньютона» можно было встретить в эссе буквально на каждой странице.
Доктор Ричард Мид тут же показал рукопись «великому сэру Исааку Ньютону». Ньютон не смог остаться равнодушным к появлению ещё одного активного последователя, пригласил Пембертона к себе и позволил опубликовать опровержение в «Философских трудах».
В другой раз Пембертон показал ему рукопись своей книги «Взгляд на философию сэра Исаака Ньютона» с популярным изложением ньютоновских идей, но Ньютон не стал её читать, только перелистал. Пембертон поразился — он обнаружил у Ньютона неожиданное равнодушие к тому, как он выглядит в глазах других людей. (Когда Пембертон ушёл, Ньютон приказал, чтобы, когда книга выйдет, ему тайно купили бы двадцать экземпляров.)
Постепенно Ньютон приблизил Пембертона к себе и предложил ему редактировать третье издание «Начал».
Пембертон так писал об этих славных временах: «Хотя память его сильно угасла, я видел, что он в совершенстве понимает свои собственные писания, в противоположность тому, что я частенько слышал в разговорах о нём от многих других. Это их мнение, возможно, возникало из-за нежелания говорить о том, о чём, казалось бы, он должен был бы говорить с удовольствием… Коснусь я только того, что сам узнал за те немногие лета, в течение которых он осчастливил меня своей дружбой. И вот что я сразу
Жаль, Котс не дожил до этих славных времён! До золотого века!
Корректура нового издания «Начал» была передана в типографию в конце 1723 года. Вышла книга в феврале 1726 года. Всё это время между Пембертоном и Ньютоном порхали листки тёплых писем. Письма Пембертона сохранились, поскольку они находились в аккуратном архиве Ньютона. Письма же Ньютона были Пембертоном утеряны.
Роль Пембертона резко отличается от роли Котса. Котс, несомненно, был гораздо талантливей. Он оставил в издании заметный личный след. Пембертон же, молясь на Ньютона, заботился в основном о стиле. Да и сам Ньютон, наверное, не смог бы принять сейчас вызова нового Котса.