Ноль: биография опасной идеи

Согласно Зенону, никакое движение во Вселенной невозможно[8]. Конечно, это глупое утверждение: любой человек может опровергнуть его, пройдясь по комнате. Хотя всем было ясно, что утверждение Зенона неверно, никто не мог найти ошибки в его рассуждениях. Парадоксы — логические загадки — Зенона ставили в тупик как греческих философов, так и тех, кто пришел после них; они озадачивали математиков почти две тысячи лет.

В своей самой знаменитой загадке — «Ахиллесе» — Зенон доказывает, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неуклюжую черепаху, если она имела преимущество на старте. Чтобы представить это более конкретно, придадим проблеме числовые значения. Предположим, что Ахиллес пробегает один фут в секунду, в то время как черепаха движется со скоростью в два раза меньшей. Предположим также, что черепаха изначально опережала Ахиллеса на один фут.

Ахиллес бежит вперед и за одну секунду достигает того места, где была черепаха. Однако за то время, что он добирается до этой точки, черепаха, которая тоже движется, проходит полфута. Неважно, Ахиллес ведь бежит быстрее, и за полсекунды он покрывает эти полфута. Однако опять же и черепаха за это время продвинулась вперед — на этот раз на четверть фута. Мгновенно — за четверть секунды — Ахиллес преодолевает и это расстояние. Но черепаха за четверть секунды проковыляла еще одну восьмую фута. Ахиллес бежит и бежит, но черепаха каждый раз перемещается вперед; как бы Ахиллес ни приблизился к черепахе, к тому времени, когда он достигает точки, где она только что была, черепаха проходит еще какое-то расстояние. Восьмую часть фута, шестнадцатую часть фута, тридцать вторую часть фута… все меньшее и меньшее расстояние, но все равно Ахиллес никак не может ее догнать. Черепаха всегда его опережает (рис. 10).

Рис. 10. Ахиллес и черепаха

Всем известно, что в реальном мире Ахиллес быстро пробежал бы мимо черепахи, однако рассуждения Зенона как будто доказывали, что он никогда ее не догонит. Философы — современники Зенона — не могли разрешить этот парадокс. Даже зная, что вывод неверен, они никак не могли найти ошибки в математическом доказательстве Зенона. Главным оружием философов была логика, но логическая дедукция представлялась бесполезной против доводов Зенона. Каждый шаг выглядел безупречным, но если все шаги правильны, как вывод может быть неверным?

Проблема поставила греков в тупик, однако они обнаружили источник неприятностей: это была бесконечность. В сердцевине парадокса Зенона кроется именно она: Зенон взял непрерывное движение и разделил его на бесконечное число крошечных шагов. Поскольку число шагов было бесконечным, греки сочли, что гонка будет длиться вечно, несмотря на то, что шаги становились все меньше и меньше. Гонка никогда не закончится в конечный отрезок времени — или так они думали. Древние не имели инструментария для того, чтобы справиться с бесконечностью, однако современные математики научились управляться с нею. Подходить к бесконечности нужно очень осторожно, но все же с ней можно совладать — с помощью ноля. Вооружившись математическими знаниями, полученными за две тысячи четыреста лет, нам нетрудно вернуться и найти ахиллесову пяту Зенона.

У греков не было ноля, но у нас он есть, и в нем заключается ключ к разрешению загадки Зенона. Иногда возможно объединить бесконечные элементы и получить конечный результат, но для этого слагаемые элементы должны стремиться к нолю[9]. Так и обстоит дело с Ахиллесом и черепахой. Когда вы складываете расстояния, которые пробегает Ахиллес, вы начинаете с числа 1, потом прибавляете ¹/₂ , потом ¹/₄ , потом ¹/₈ и так далее; элементы становятся все меньше и меньше, все больше приближаясь к нолю; каждый элемент есть шаг в путешествии, пунктом назначения которого является ноль. Впрочем, поскольку у греков не было ноля, они не могли понять, что это путешествие когда-нибудь кончится. Для них числа 1, ¹/₂ , ¹/₄ , ¹/₈ , ¹/₁₆ и так далее не вели к чему-то: пункт назначения не существовал. Вместо этого греки видели просто элементы, становившиеся все меньше и меньше, выходившие за пределы области чисел.