Ноль: биография опасной идеи

Раскрытие выражения (x + оx́)² дает нам y + оý = x² + 2x(оx́) + (оx́)² + x + оx́ + 1. Приведение членов дает y + оý = (x² + x + 1) + 2x(оx́) + 1(оx́) + (оx́)². Поскольку y = x² + x + 1, мы можем вычесть y из левой части уравнения и x² + x + 1 из правой. Это дает нам оý = 2x(оx́) + 1(оx́) + (оx́)². Дальше следует жульнический прием. Ньютон заявил, что поскольку оx́ на самом деле очень, очень мал, оx́́² еще меньше и исчезает. По сути это был ноль, и его можно было игнорировать. Это дает нам оý = 2x(оx́) + 1(оx́), а это значит, что оý / оx́ = 2x + 1. Это и есть угол наклона касательной в любой точке кривой (рис. 26).

Рис. 26. Чтобы найти угол наклона в любой точке параболы y = x² + x + 1, нужно использовать формулу 2x + 1

Бесконечно малый период времени о выпадает из уравнения, оý / оx́ превращается в ý / x́, и об о больше не нужно думать.

Метод давал правильный ответ, но ньютоновское действие исчезновения очень смущало. Если, как настаивал Ньютон, (оx́)², (оx́)³ и более высокие степени оx были равны нолю, то и само оx́ должно быть равно нолю[28]. С другой стороны, если оx́ — ноль, то деление на оx́, как мы делали в конце, то же самое, что деление на ноль — как и самый последний шаг избавления от о в верхней и нижней части выражения оý / оx́. Деление на ноль запрещено математической логикой.

Ньютоновский метод флюксий был очень сомнителен. Он предполагал незаконную математическую операцию, однако обладал одним огромным преимуществом. Он работал. Метод флюксий не только разрешал проблему касательной, он разрешал и проблему площадей. Нахождение площади под кривой (или прямой, которая является одной из разновидностей кривой) — операция, которую мы теперь называем интегрированием, — всего лишь действие, обратное дифференцированию. Как дифференцирование выражения y = x² + x + 1 дает уравнение для наклона касательной y = 2x + 1, интегрирование уравнения y = 2x + 1 дает формулу для определения площади под кривой. Эта формула — y = x² + x + 1; площадь под кривой, ограниченной точками x = a и x = b просто равна (b² + b + 1) — (a² + a + 1) (рис. 27). (Технически формула имеет вид y = x² + x + c, где c есть любая константа. Процесс дифференцирования уничтожает часть информации, так что процесс интегрирования не дает вам точно тот ответ, который вы ищете, если только вы не добавите недостающие данные.)

Рис. 27. Чтобы узнать площадь под кривой y = 2x + 1, используйте формулу y = x² + x + 1

Математический анализ — это комбинация этих двух инструментов, дифференцирования и интегрирования, в одной упаковке. Хотя Ньютон нарушил некоторые очень важные математические правила, заигрывая с нолем и бесконечностью, математический анализ давал настолько мощные методы вычислений, что ни один математик не смог его отвергнуть.

Природа говорит уравнениями. В этом странное совпадение. Правила математики были выстроены на основании подсчета овец и измерения земельных участков, однако те же самые правила управляют Вселенной. Законы природы описываются уравнениями, а уравнения в определенном смысле — всего лишь инструменты, используя которые, вы вводите числа и получаете другое число. Древние знали несколько этих уравнений-законов, вроде закона рычага, но с началом научной революции уравнения-законы стали появляться отовсюду. Третий закон Кеплера описывал время, которое нужно планетам для обращения по орбите: r³ / t² = k, где t — время, r — расстояние и k — константа. В 1662 году Роберт Бойль показал, что если взять запечатанный сосуд с газом внутри и начать газ сжимать, то давление внутри возрастет: давление, умноженное на объем, есть константа: pυ = k, где p — давление, v — объем, k — константа. В 1676 году Роберт Гук вычислил силу действия пружины. Она равна отрицательной константе, умноженной на расстояние: f = –kx, где f — сила, x — расстояние, на которое растянута пружина, и k — константа. Эти ранние уравнения-законы были очень хороши для выражения простых зависимостей, однако уравнения имели ограничения — их постоянство, что не позволяло им быть универсальными.