Новая философская энциклопедия. Том первый

ДОКСОГРАФЫ многократным применением правила (modus tollendo po- nens), разрешающего утверждать (принимать) в качестве истинной одну гипотезу, если отрицается другая: «А или В, не-А, следовательно, В». При этом право на исключение альтернатив (членов дизъюнкции) обосновывается отдельно, что и составляет косвенный пункт доказательства. Если же тезис заранее не указан, он выявляется в ходе последовательного проведения всех косвенных пунктов доказательства. В апагогической форме (в отличие от разделительной) доказательство начинается с предположения о ложности тезиса и с принятия в качестве одной из посылок доказательства антитезиса — суждения, противоречащего тому, что требуется доказать (противоречащего тезису доказательства). Это первый шаг апагогического косвенного доказательства, называемого поэтому доказательством «от противного». Все последующие шаги состоят в разыскании таких следствий первого шага, которые указывали бы так или иначе на необходимость отбросить исходную гипотезу о ложности тезиса, дав т. о. известное основание его истинности. А это возможно, если только удастся опровергнуть антитезис. Напр., показать несовместимость антитезиса с каким-нибудь заведомо истинным суждением или привести антитезис к абсолютному противоречию типа абсурда (отсюда такой вариант доказательства от противного как reductio ad absurdum). Первые неявные примеры апагогических косвенных доказательств восходят к ранней античности. Таковы, в частности, «уличающие опровержения» Зенона Элейского, его апории, соответствующие одному из логических законов, а именно А =>((А з -. А) з -. А). Аристотель уже явно формулирует идею апагогического косвенного доказательства как доказательства «посредством приведения к невозможному» (reductio ad impossible), добавляя, что «при приведении к невозможному противоположное суждение есть истина не заранее признанная, а условно взятая» (Аристотель. Аналитики. 61а 19—61Ь 4. М., 1952, с. 142). Однако он не указывает, на какие логические законы опирается апагогическое косвенное доказательство. Между тем уточнение этих законов и их семантики привело к разделению апагогических косвенных форм на «различные степени косвенности» и к размежеванию современной логики на классическую, допускающую свободное использование всех форм косвенного доказательства, и интуиционистскую (конструктивную) логику, допускающую, вообще говоря, только одну его форму — доказательство отрицательных суждений (тезисов) через построение, приводящее к абсурду гипотезу об истинности противоречащей им посылки. Т. о., приведенный выше закон Зенона соответствует интуиционистской установке и принимается, а его («симметричная») форма — т. н. «тонкое следование» (consequentia mirabilis), восходящее к «Началам» (кн. IX, теорема 12) Евклида, — этой установке не соответствует и отвергается. Размежевание в подходах к законности некоторых форм косвенного доказательства связано с интуиционистским отказом от использования положительной и отрицательной манеры утверждения как равноправных. Это равноправие выражается, в частности, в свободном использовании закона снятия двойного отрицания (duplex negatio affirmat), вообще говоря, неприемлемого (равно как и дедуктивно связанного с ним закона исключенного третьего) в силу неэффективности (неконструктивности) в ситуациях, когда мысль выходит за пределы финитных возможностей опыта, и вопрос об истинности или ложности суждений решается не прямой опытной проверкой, а некоторым трансфинитным рассуждением. В результате оба этих закона (несмотря на их простоту и широкое использование в математике, начиная с Евклида) и соответственно формы апагогического косвенного доказательства, от них зависящие, в интуиционистской логике отвергаются. А в отсутствии этих законов косвенно доказываются только отрицательные тезисы, поскольку интуиционистски верная импликация I I IA z> -А независима от них. По существу именно этого рода дедукции, формально представимые, к примеру, такой формой закона приведения к абсурду (к противоречию), как (А 3 В) 3 ((A z) -1 В) Z) -I А), являются единственным (не считая прямого определения) логическим путем введения отрицания в интуиционистских теориях, что указывает на важность этой формы косвенного доказательства для этих теорий. Из других интуиционистски приемлемых форм можно указать на контрапозицию (AdB)d(-.Bd^A),(A Z) -1 В) => (В z) -л А) и В Z) ((А з -1 В) Z) -. А), а из приемлемых еще и классически—закон обратной контрапозиции (-iBd -1 А) з (А з В): предположив истинным А и ложным В, из отрицания В выводим отрицание А, чем от противного и доказываем истинность импликации (Аз В). Очевидно, что как duplex negatio, так и tertium non datur выражают онтологический аспект отрицания, его транс- цендентныйхарактер. Отказ от этих принципов, естественно, приводит к неонтологической концепции отрицания и вводит понятие отрицания в контекст гносеологических обсуждений, затрагивая проблемы философского характера. Вот почему в научном мышлении прямые доказательства ценятся выше косвенных. Однако доказуемое косвенно не всегда доказуемо прямым способом. В этом смысле косвенные доказательства сильнее прямых. Они широко используются как в повседневном, так и в научном мышлении в той мере, в какой стратегия поиска доказательства оправдывается принятой логикой рассуждений. Лит.: Асмус В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М, 1954, гл. 5; Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965; Клини С. К. Математическая логика. М., 1973; Lowenheim L. On Making Indirect Proofs Direct. — «Scripta Math.», 1946, 12; Goodstein К L. Proof by reductio ad absurdum. - «Math. Gazette», 1948, 32; Beth E. W. Observation au sujet du raisonnement indirect. — «Logique et Analyse», 1960, N11-12. M. M. Новосёлов