Новая философская энциклопедия. Том первый

АКСИОМА(греч. аСиЬца - принятое положение) — предложение, по какой-либо причине принимаемое в качестве исходного для каких-либо дальнейших рассуждений. Это общее понимание аксиомы всякий раз конкретизируется вместе с уточнением того, что понимается под предложением, причиной и под дальнейшими рассуждениями. Типичные примеры аксиом: 1) некоторое выражение символического языка исчисления, если под дальнейшими рассуждениями понимаются использующие его выводы в рамках данного исчисления. В этом случае причина принятия аксиом — само определение рассматриваемого исчисления. Здесь сомнения по поводу принятия аксиом бессмысленны;

67

АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ 2) некоторая эмпирическая гипотеза, если под дальнейшими рассуждениями понимается, к примеру, систематически развиваемый на ее основе раздел физики. В этом случае причина принятия аксиомы — вера в закономерность природы, выражаемую данной гипотезой. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы не только осмысленны, но и желательны; 3) соглашение понимать термины, участвующие в формулировке некоторого суждения, как угодно, но все-таки таким образом, чтобы при этом понимании рассматриваемая формулировка выражала истинное суждение. Это тот случай, когда под дальнейшими рассуждениями понимается вывод заведомо истинных следствий из неоднозначно понимаемого исходного суждения. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы бессмысленны. Когда такого рода аксиому используют в рамках научной теории, ее часто называют постулатом значения; 4) утверждение, оцениваемое как необходимо истинное (аподиктическое), если под дальнейшими рассуждениями понимается какая-либо систематически развиваемая доктрина, претендующая на совершенство в эпистемологическом отношении (геометрия Евклида, метафизика Декарта, этика Спинозы, наукоучение Фихте, математика Гильберта и т. д.). В этом случае причина принятия аксиомы — свидетельство специальной познавательной способности (интуиции) к непосредственному усмотрению некоторых (называемых часто самоочевидными) истин. В рамках указанной претензии сомневаться в аксиомах абсурдно, но вопрос об оправданности самой этой претензии — одна из самых глубоких и открытых проблем философии. К. Ф. Самохвалов

АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ- см. Множеств теория.

АКСИОМА ВЫБОРА— см. Множеств теория.

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ- теория, организованная (построенная) согласно аксиоматическому методу. Первой такой теорией была эллинская геометрия («Начала» Евклида), заложившая традиции, которым следовали по существу два тысячелетия. Аксиологическая теория Евклида была содержательной — пространственная интуиция и логика выступали в ней на равных правах. Лишь в конце 19 в. эта традиция была нарушена (М. Пасш и Д. Гильберт). Хотя содержательной аксиоматике до сих пор стараются следовать в неформализованных теориях (напр., общая систематика А. А. Любищева), в математике перешли от содержательной аксиоматики к модельной и далее к формальной. В модельной аксиоматической теории свойства описываемых объектов выражаются на математическом языке с использованием некоторых стандартных математических понятий, напр. Понятия числа. Таковы, в частности, современные аксиоматические изложения механики, электродинамики (законы Максвелла) и теории относительности. В формальной аксиоматической системе точно определены и язык, и правила вывода, и аксиомы. В принципе такая система не содержит никаких внешних ссылок (в том числе на смысл изучаемых в ней объектов) и является исчислением, с которым можно оперировать чисто механически. Но необходимо помнить, что в математических науках принципиальная возможность всегда означает практическую невозможность либо нецелесообразность. Поэтому с формальной аксиоматикой всегда манипулируют на основе некоторой интерпретации, обращаясь с формальной системой как с модельной. В данном случае преимуществом формальной системы является возможность в любой момент опуститься на уровень формального манипулирования для перепроверки результатов. Еще одним преимуществом формальных аксиоматик является возможность нескольких разнородных классов моделей, позволяющих взаимно перепроверять полученные выводы, не опускаясь до чисто формального манипулирования. Таким свойством обладает, напр., интуиционистская логика. Н. Я. Непейвода