Новый физический фейерверк

1.102. Короткая история. Последовательность вращений имеет значение

Если вы пройдете три метра на север, три метра на восток, три метра на запад и три метра на юг, вы вернетесь в ту же самую точку, независимо от того, в какой последовательности вы проделаете эти четыре коротких отрезка пути. (Чтобы иметь возможность проделать все эти эволюции, вы должны находиться не ближе трех метров к любому из полюсов.) С вращением все иначе. Опустите руку вниз ладонью к бедру. Не поворачивая запястье, 1) поднимите руку так, чтобы она была вытянута вперед, 2) в горизонтальной плоскости отведите ее так, чтобы она указывала вправо, и 3) опустите ее вниз так, чтобы она в результате была направлена вдоль туловища. Теперь ладонь направлена вперед. Проделайте все эти движения в обратном порядке — в сторону, вперед, вниз. Тогда рука вернется в исходное положение и будет прижата к бедру. Куда будет направлена ладонь в конце?

1.103. Волчки тоже бывают разные

Почему вращающийся волчок не падает, даже когда он довольно сильно отклоняется от вертикали? Почему некоторые волчки изначально «спят», то есть крутятся, стоя прямо, а другие прецессируют (вершина центральной оси волчка обращается вокруг вертикальной оси, как это показано на рис. 1.36а)? Почему на прецессию часто накладывается нутация — дополнительное вращение оси волчка вокруг конуса с углом, существенно меньшим, чем при прецессии? Существуют ли различные типы нутаций? Почему некоторые вращающиеся волчки сразу опрокидываются, а другие крутятся и крутятся?

Рис. 1.36 / Задача 1.103. а) Прецессия вращающегося волчка относительно вертикальной оси. б) Вращение вектора углового момента вокруг вертикали. в) Нутация при прецессии.

ОТВЕТ • Обычно когда на тело действует сила, оно движется в направлении этой силы. Но когда тело еще и вращается, приложенная сила может вызвать его движение в перпендикулярном этой силе направлении. Такое движение кажется невозможным, и поэтому волчки (и гироскопы вообще) так интересны. Даже если ребенок еще не знаком с физическими законами, он знает, что наклонившийся волчок должен сразу же упасть, а не прецессировать.

Традиционно прецессию объясняют угловым моментом волчка, который зависит от скорости его вращения вокруг длинной оси. Угловой момент — вектор, направленный вдоль этой оси. Представьте себе мгновенный снимок волчка, вращающегося с большой скоростью против часовой стрелки, если смотреть сверху, и наклонившегося под каким-то углом. На рис. 1.36б угловой момент волчка представлен вектором, направленным по центральной оси вверх.

Из-за того, что сила тяжести, действующая на волчок, направлена вниз, она создает вращающий момент, стремящийся повернуть волчок относительно точки соприкосновения его с полом, в результате чего волчок должен упасть. Однако поскольку волчок вращается и уже обладает угловым моментом, этот вращающий момент только меняет направление углового момента, поворачивая вектор вокруг точки опоры, при этом сам вектор движется по поверхности конуса. Поскольку угловой момент направлен вдоль центральной оси волчка, центральная ось движется по той же поверхности.

Как только волчок запустили, он начинает наклоняться, а его центр масс немного опускается. При этом должны выполняться два закона сохранения: угловой момент волчка относительно вертикальной оси и его полная энергия должны оставаться постоянными. Поскольку опускание центра масс приводит к отклонению оси вращения от вертикали, скорость прецессии должна быть достаточно высока, чтобы полный угловой момент оставался постоянным. Вследствие опускания центра масс потенциальная энергия переходит в кинетическую.

Волчок не может продолжить падение, иначе не будут выполняться оба закона сохранения, поэтому центр масс не опускается ниже некоторой точки. Достигнув ее, он снова начинает подниматься, и прецессия замедляется. Такое качание между самой высокой и самой низкой точками, разрешенными законами сохранения, называется нутацией, которая накладывается на прецессию. Существует три типа нутации в зависимости от того, что делает в высшей точке центр масс волчка: волчок может на мгновение перестать прецессировать, продолжить прецессировать в том же направлении, что и в низшей точке, или ненадолго поменять направление прецессии на противоположное (рис. 1.36в). Какой из вариантов волчок выберет, зависит от начальной, то есть приданной волчку при запуске, прецессии — она может совпадать с направлением прецессии, вызванной моментом силы тяжести, быть направлена в противоположную сторону, а может и вообще отсутствовать.