Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Нужно сказать, что в состояниях спин вверхи спин внизнет ничего особенного. С тем же успехом мы могли бы описывать спин, вращающийся слева направо вокруг любого другого направления, например, слева-направо|->)и противоположного ему справа-налево|-). Тогда (при подходящем выборе комплексных весов) мы получили бы для |^)и |V) [155]:

|->)= |^) + |V)и |-)= |^)— |V).

Это позволяет нам по-новому взглянуть на ситуацию. Любое спиновое состояние электрона есть линейная суперпозиция двух ортогональных состояний |->)и |-),т. е. спинов направои налево. Можно выбрать какое-нибудь совершенно произвольное направление, например, вектор состояния.

Он также является линейной комбинацией спинов |^)и |V)с некоторыми комплексными коэффициентами, скажем,

а любое спиновое состояние было бы представимо в виде линейной комбинации этого состояния

и ортогонального ему [156]состояния

(Заметим, что понятие «ортогональный» в гильбертовом пространстве не обязательно означает «образующий прямой угол с…» в обычном пространстве. Ортогональные вектора состояния в гильбертовом пространстве в данном случае соответствуют диаметрально противоположным направлениям, а не образующим друг с другом прямой угол.)

Каково геометрическое соотношение между направлением в пространстве, определяемым спином

и двумя комплексными числами и z? Так как физическое состояние, задаваемое спином

останется неизменным, если мы умножим

на любое ненулевое комплексное число, то значение имеет только отношениечисла zк числу . Обозначим это отношение через

q= z/ .

Тогда qбудет обычным комплексным числом за исключением того, что теперь ему разрешено принимать значение q = , чтобы не упускать из рассмотрения ситуацию с = 0, т. е. когда спин направлен вертикально вниз. Если q/= , то мы можем представить qкак точку на плоскости Аргана, как мы делали это в главе 3. Представим себе, что эта плоскость Аргана расположена горизонтально в пространстве, причем действительная ось направлена вправо в вышеуказанном смысле (т. е. в направлении спинового состояния |->)). Представим теперь сферу единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат плоскости Аргана, а точки 1, i, — 1, - iлежат на экваторе этой сферы. Рассмотрим точку, совпадающую с южным полюсом этой сферы, который мы обозначим . Осуществляя проекцию из южного полюса, мы отобразим всю плоскость Аргана на нашу единичную сферу. В результате любая точка qна плоскости Аргана окажется поставленной в соответствие единственной точке qна этой сфере, лежащей на прямой, соединяющей эти две точки с южным полюсом (рис. 6.25).

Рис. 6.25.Сфера Римана, представленная как пространство физически различных спиновых состояний частицы со спином 1/ 2. Сфера Римана стереографически спроецирована из ее южного полюса ( ) на плоскость Аргана, проходящую через экватор сферы

Такое соответствие называется стереографической проекциейи обладает многими красивыми геометрическими свойствами (например, сохраняет углы и отображает окружности в окружности). Такая проекция позволяет нам параметризовать точки сферы комплексными числами вместе с , т. е. множеством возможных комплексных отношений q. Сфера, параметризованная таким образом, называется сферой Римана. Геометрический смысл сферы Римана для спиновых состояний электрона состоит в том, что направление спина, задаваемое соотношением

определяется реальным направлением из центра в точку q= z/ , как показано на изображении сферы Римана. Заметим, что северный полюс соответствует состоянию |^), задаваемому соотношением z= 0, т. е. q= 0, а южный полюс — состоянию |V), задаваемому соотношением = 0, т. е. q= . Самая правая точка сферы Римана помечена значением q = 1, что соответствует состоянию |->)= |^) + |V)а самая левая точка сферы Римана соответствует q= - 1, что дает спиновое состояние |-)= |^)— |V). Самая дальняя задняя точка сферы Римана помечена значением q= i, соответствующим состоянию |^) + i|V), в котором спин направлен прямо от нас, а самая близкая точка сферы Римана помечена значением q= — i, соответствующим состоянию |^)— i|V), в котором спин направлен прямо к нам. Произвольная точка, помеченная q, соответствует состоянию |^) +  q|V).

Как все это связано с измерением, которое можно было бы произвести над спином электрона? [157]Выберем некоторое направление в пространстве и обозначим его а. Если мы измеряем спин электрона в этом направлении, то ответ ДАозначает, что электрон (теперь) действительно вращается слева направо вокруг направления а, в то время как ответ НЕТозначает, что электрон вращается слева направо вокруг направления, противоположного .