Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Чтобы понять, как набор возможных поляризаций снова образует сферу Римана, представим себе фотон, который движется вертикально вверх. Северный полюс теперь представляет состояние | R) — правовинтовой спин. Это означает, что электрический вектор движущегося фотона вращается против часовой стрелки относительно вертикали (если смотреть сверху). Южный полюс представляет состояние | L) — левовинтовойспин. (Фотоны можно представлять вращающимися наподобие ружейной пули, либо слева направо, либо справа налево.) Общее спиновое состояние | R) + q| L) представляет собой комплексную линейную комбинацию двух состояний | R) и | L) и соответствует точке на сфере Римана, помеченной значением q. Чтобы установить связь между значением qи эллипсом поляризации, мы прежде всего извлечем из q квадратныйкорень и получим другое комплексное число р:

р= q

Затем нанесем рвместо qна сферу Римана и рассмотрим плоскость, проходящую через центр сферы перпендикулярно прямой, соединяющей центр сферы с точкой р. Эта плоскость пересекает сферу по окружности, проектируя которую на горизонталь, мы получаем эллипс поляризации (рис. 6.28) [160].

Рис. 6.28. Сфера Римана (но теперь со значениями q) также описывает состояния поляризации фотона. (Вектор, направленный в точку q, называется вектором Стока.)

Сфера Римана со значениями qпо-прежнему описывает совокупность поляризованных состояний фотона, но квадратный корень риз qдает нам ее пространственную реализацию.

Чтобы вычислить вероятности, мы можем воспользоваться той же самой формулой 1/2( 1+ cos v), которой мы пользовались для электрона, применив ее к q, а не к р. Рассмотрим плоскуюполяризацию. Мы измеряем поляризацию фотона сначала в одном направлении, затем в другом направлении, образующем с первым угол . Эти два направления соответствуют двум значениям рна экваторе сферы, стягивающим угол в центре сферы. Так как величины р— квадратные корни из величин q, угол v, под которым из центра видны q-точки, вдвоебольше угла, под которым из центра видны p-точки: v= 2. Таким образом, вероятность получения ответа ДАпосле второго измерения при условии, что после первого измерения был получен ответ ДА(т. е. вероятность прохождения фотона через второй поляроид при условии, что он прошел сквозь первый поляроид) равна 1/2( 1+ cos ), что, как показывают несложные тригонометрические преобразования, в точности совпадает с cos²и утверждалось выше.

Объекты с большим спином

Для квантовой системы с числом базисных состояний больше двух пространство физически различимых состояний имеет более сложную структуру, чем сфера Римана. Но в случае спина самойсфере Римана всегда отведена некоторая прямая геометрическая роль. Рассмотрим массивнуючастицу или атом со спином nх h/ 2в состоянии покоя. (Для безмассовых частиц со спином, т. е. частиц, которые движутся со скоростью света (как, например, фотон), спин всегда, как было описано выше, представляет собой систему с двумясостояниями. Но у массивной частицы число состояний увеличивается с увеличением спина.) Если мы захотим измерить спин такой частицы в некотором направлении, то обнаружим, что существуют n+ 1различных возможных исходов измерения, в зависимости от того, какая часть от полного спина ориентирована в выбранном направлении. В терминах фундаментальной единицы h/ 2возможные результаты для значений спина в выбранном направлении равны n, n— 2,  n— 4, …, 2— nили — n.Следовательно, при n= 2спин может быть равен (в единицах h/ 2) 2, 0или - 2, а при n= 3это 3, 1, - 1или - 3и т. д. Отрицательныезначения соответствуют спину, направленному главным образом в сторону, противоположнуютой, в которой производилось измерение. В случае спина, равного 1/ 2, т. е. при n= 1, значение 1соответствует ответу ДА, а значение - 1— ответу НЕТ(в приведенных выше описаниях).

Оказывается, хотя я не буду пытаться излагать здесь причины (Майорана [1932], Пенроуз [1987а]), что любое спиновое состояние(с точностью до коэффициента пропорциональности) для спина hn/ 2однозначно характеризуется (неупорядоченным) набором из n точек насфере Римана, т. е. n(обычно различными) направлениями из ее центра (рис. 6.29). (Эти направления определяются измерениями, которые могут быть произведены над системой: если мы измерим спин в одном из этих направлений, то результат заведомо не будет целиком ориентирован в противоположном направлении, т. е. даст одно из значений n, n— 2,  n— 4, …, 2— n, но не— n.)