Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

С моей точки зрения, получить такое явное reductio ad absurdum(без применения настоящего математического доказательства) мы даже и мечтать не могли! Основная идея должно быть теперь ясна. Математическая истина — это не то, что мы устанавливаем просто за счет использования алгоритма. Кроме того, я полагаю, что наше сознание— это решающая составляющая в нашем понимании математической истины. Мы должны «видеть» истинность математических рассуждений, чтобы убедиться в их обоснованности. Это «видение» — самая суть сознания. Оно должно присутствовать везде, где мы непосредственно постигаем математическую истину. Когда мы убеждаемся в справедливости теоремы Геделя, мы не только «видим» ее, но еще и устанавливаем неалгоритмичность природы самого процесса «видения».

Вдохновение, озарение и оригинальность

Я должен попытаться как-то прокомментировать те внезапные вспышки озарения, которые мы называем вдохновением. Откуда берутся все эти мысли и образы? Может быть, они появляются из нашего бессознательного — или все же сознание существенным образом связано с их рождением? Можно привести множество примеров из воспоминаний великих мыслителей, где они прямо указывали на такие события. Как математик, я особенно интересуюсь теми случаями, когда вдохновение посещало именно математиков, но думаю, что между математикой и другими науками и искусством есть много общего. Эта тема великолепно изложена в небольшой работе «Исследования психологии процессов изобретательства в области математики» — классическом труде выдающегося французского математика Жака Адамара — к которой я и отсылаю читателя. В ней он приводит многочисленные примеры озарения в изложении ведущих математиков и не только. Один из наиболее известных случаев связан с Анри Пуанкаре. В начале Пуанкаре описывает свои напряженные сознательные исследования, связанные с построением так называемых «функций Фукса», которые в конце концов явно зашли в тупик. И вот что он пишет далее:

«…Я покинул Кон, где я жил в то время, чтобы принять участие в геологической экспедиции, организованной Горной школой. Впечатления от поездки заставили меня забыть о моей математической работе. Достигнув местечка Кутонс мы сели в омнибус, чтобы добраться на нем до следующего пункта назначения. В тот момент, когда я ставил ногу на подножку, мне пришла в голову идея, которая, казалось, никоим образом не вытекала из моих прошлых раздумий, что преобразования, используемые мной для определения функций Фукса, были идентичны определенным преобразованиям в неэвклидовой геометрии. Я не проверил эту идею. У меня просто не было времени, так как когда я занял свое место в омнибусе, я продолжил прерванную беседу — но я был совершенно уверен в правильности моей догадки. Вернувшись в Кон, я выбрал свободное время и, проверив для собственного спокойствия свое предположение, убедился в его справедливости».

Что поражает в этом примере (как и во многих других, приведенных Адамаром) — это внезапность появления столь сложной и глубокой идеи в сознании Пуанкаре, которое в тот момент было занято совершенно другим; и тот факт, что возникновение этой идеи сопровождалось четким ощущением ее истинности, которую полностью подтвердили последующие расчеты. Тут нужно сразу оговориться, что подобные идеи сама по себе далеко не так просты, чтобы их можно было легко выразить словами. Думаю, что для ясного изложения своих мыслей Пуанкаре потребовалось бы провести примерно часовой семинар для экспертов в этой области. Ясно, что эта идея могла полностью оформиться в сознании Пуанкаре только после долгих часов размышлений, направленных на изучение всех возможных аспектов указанной проблемы. Да, в некотором смысле, идея, осенившая Пуанкаре, когда он садился в омнибус, была «единичной» идеей, которую можно было полностью осознать в один момент. Еще более замечательной представляется убежденность Пуанкаре в ее справедливости — убежденность, которая сделала последующую детальную проверку этой идеи почти что излишней.