Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Вспомним примеры «плиточных» замощений, изображенные на рис. 4.12 (гл.4 «Некоторые примеры нерекурсивной математики»). Эти образцы интересны потому, что они «почти» нарушают общепринятую математическую теорему о кристаллических решетках, которая утверждает, что для кристаллических решеток возможны только симметрии с осью второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Под кристаллической решеткой я подразумеваю дискретную систему точек, которая обладает трансляционной симметрией. Это означает, что можно определенным образом перемещать решетку без вращения так, чтобы она переходила сама в себя (иными словами, в результате такого сдвига она не изменяется) — а, значит, у такой решетки будет существовать параллелограмм периодов(см. рис. 4.8). Примеры «плиточных» замощений с этими разрешенными теорией типами вращательной симметрии показаны на рис. 10.2.

Рис. 10.2.Периодические плиточные замощения с разными типами симметрии (где в каждом случае центр симметрии совпадает с центром плитки): 1) с осью второго порядка; 2) с осью третьего порядка; 3) с осью четвертого порядка; 4) с осью шестого порядка

С другой стороны, покрытия на рис. 4.12, как и изображенные на рис. 10.3

Рис. 10.3.Квазипериодическая плиточная структура (следует заметить, что она образована посредством объединения образцов с рис. 4.11) с кристаллографически «невозможной» квазисимметрией с осью пятого порядка

(которые, в сущности, представляют собой замощения, образованные соединением решеток, изображенных на рис. 4.11 (гл.4 «Некоторые примеры нерекурсивной математики»), почтиимеют трансляционную симметрию и почтиобладают симметрией вращения с осью пятого порядка, где «почти» означает, что можно найти такие движения решеток (соответственно, трансляционные и вращательные), при которых решетка переходит сама в себя с любой наперед заданной точностью (кроме 100 %-ной). Не стоит углубляться, что точно означает это утверждение. Единственное, что нам здесь важно — это если в нашем распоряжении есть вещество, в котором все атомы расположены в узлах кристаллической решетки с подобной структурой, то оно будет выглядеть, как кристалл, обладая при этом запрещенной симметрией с осью пятого порядка!

В декабре 1984 году израильский физик Дэни Шехтман, работавший вместе с коллегами в Национальном бюро стандартов в США, в Вашингтоне, объявил об открытии фазы алюминиево-марганцевого сплава, который был похож на кристаллоподобное вещество — теперь называемое квазикристаллом— с осью пятого порядка. На самом деле, у этого квазикристаллического вещества наблюдалась симметрия не только на плоскости, но и в трехизмерениях — так что в итоге получалась запрещенная икосаэдральная симметрия (Шехтман и др. [1984]). (Икосаэдральный трехмерный аналог моей плоской «плиточной» структуры с осью пятого порядка был открыт Робертом Амманном в 1975 году; см. Гарднер [1989].) Сплавы Шехтмана образовывали только крошечные микроскопические квазикристаллы, достигавшие примерно 10 ^-3мм в поперечном сечении, но позднее были найдены другие квазикристаллические вещества, в частности — алюминиево-литиево-медный сплав, у которого икосаэдрально симметричные образования могут вырастать до размеров порядка миллиметра, т. е. становятся вполне различимы невооруженным глазом (рис. 10.4).

Рис. 10.4.Квазикристалл (сплав AL— Li— Сu) с, казалось бы, невозможной кристаллической симметрией. (Из Гэйл [1987].)