Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

На самом деле Гаусс не был первым, кто использовал геометрическое представление комплексных чисел. Уоллис сделал то же самое примерно за двести лет до Гаусса, хотя далеко не столь результативно. Геометрическое представление комплексных чисел обычно связывают с именем Жана Робера Аргана — швейцарского бухгалтера, описавшего это представление в 1806 году, хотя полное описание этого представление было на самом деле дано девятью годами раньше норвежским геодезистом Каспаром Весселем. Согласно этой традиционной (хотя и не совсем правильной с исторической точки зрения) терминологии, я буду называть стандартное геометрическое представление комплексных чисел плоскостью Аргана.

Плоскость Аргана представляет собой обычную евклидову плоскость со стандартными декартовыми координатами xи y, где xобозначает расстояние по горизонтали (положительное вправо и отрицательное влево), а у— расстояние по вертикали (положительное вверху и отрицательное внизу). В этом случае комплексное число z= х+ iyпредставляется точкой на плоскости Аргана с координатами ( x, y) (рис. 3.8).

Рис. 3.8.Изображение комплексного числа z= х+ iyна плоскости Аргана

Обратите внимание, что число  0(рассматриваемое как комплексное число) соответствует началу координат, а число 1— одной из точек на оси х.

Плоскость Аргана есть просто способ геометрически наглядной организации семейства комплексных чисел. Такое представление не является для нас чем-то совершенно новым. Мы уже знакомы с геометрическим представлением действительныхчисел — в виде прямой линии, простирающейся на неограниченное расстояние в обоих направлениях. Одна из точек обозначена как 0, а еще одна — как 1. Точка 2смещена относительно точки 1равно настолько, насколько точка 1смещена относительно точки 0; точка 1/2расположена в точности посередине между точками 0и 1; точка - 1расположена так, что точка 0находится в точности посередине между точками - 1и 1, и т. д., и т. п. Отображенное таким образом множество действительных чисел называется действительной прямой. В случае комплексных чисел у нас есть уже целых два действительных числа — аи b— которые могут рассматриваться как координаты комплексного числа а+ ib. Эти два числа дают нам две координаты точки на плоскости, в данном случае — на плоскости Аргана. Для примера я указал на рис. 3.9 приблизительные положения комплексных чисел

u= 1+ i 1,3, v= - 2+ i, w= - 1,5— i 0,4.

Рис. 3.9.Расположение чисел u= 1+ i1,3, v= - 2+ i, = - 1,5— i0,4на плоскости Аргана

Теперь основные алгебраические операции сложения и умножения комплексных чисел приобретают ясную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим сначала сложение. Предположим, что uи vэто два комплексных числа, представленные на плоскости Аргана в соответствии с описанной выше схемой. Тогда сумма этих двух чисел u+ vпредставляется «векторной суммой» двух точек, то есть точка u+ vнаходится на месте недостающей вершины параллелограмма, образованного точками u, vи началом координат 0. Нетрудно убедиться, что эта конструкция (рис. 3.10) действительно дает сумму двух чисел, но соответствующее доказательство я здесь опускаю.

Рис. 3.10.Сумма u + v двух комплексных чисел определяется по правилу параллелограмма

Произведение uvдвух комплексных чисел тоже имеет простую, хотя и, быть может, несколько менее очевидную геометрическую интерпретацию (рис. 3.11). (Я опять опускаю доказательство.)

Рис. 3.11.Произведение uvдвух комплексных чисел uи v— это такое число, что треугольник, образованный точками 0, vи uv, подобен треугольнику, образованному точками 0, 1и u. То же самое можно сформулировать иначе: расстояние точки uvот 0равно произведению расстояний от 0до точек uи v, а угол между uvи действительной (горизонтальной) осью равен сумме углов между этой осью и отрезками к точкам ии v