Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Предположим, что мы остановили свой выбор на модели твердых сферических шариков, потребовав, чтобы при столкновении частиц шарики просто идеально упруго отражались. Иначе говоря, они должны разлетаться после столкновения без какой бы то ни было потери энергии (или полного количества движения (импульса)), как если бы они были идеальными бильярдными шарами. Нам необходимо также точно задать, какие силы должны действовать между шариками. Для простоты мы можем положить, что сила, с которой один шарик действует на любой другой, направлена по прямой, соединяющей центры шариков, а величина силы определяется длиной отрезка между центрами шариков. (Для ньютоновской гравитации это предположение выполняется автоматически в силу замечательной теоремы, доказанной Ньютоном; а для других видов сил оно может быть наложено в качестве дополнительного требования.) Если шарики сталкиваются только попарно, а тройные столкновения, как и столкновения более высокого порядка, не происходят, то все вполне определено, и исход столкновения непрерывно зависит от начального состояния (т. е. достаточно малые изменения в начальном состоянии приводят лишь к малым изменениям в конечном). Скользящие столкновения рассматриваются как предельный случай прохождения шариков в непосредственной близости друг от друга. Проблема возникает при рассмотрении тройных столкновений и столкновений более высоких порядков. Например, если происходит одновременное столкновение трех шариков А, В и С, то вся картина значительно меняется в зависимости от того, какое из попарных соударений мы рассматриваем сначала: шарика А с шариком В, а сразу же после этого — С с В; или же мы считаем, что сначала сталкиваются шарики А и С, а затем шарик В сталкивается с шариком А(рис. 5.8).

Рис. 5.8. Тройное соударение. Поведение частиц в результате столкновения существенно зависит от того, какие частицы сталкиваются первыми, поэтому исход столкновения не зависит непрерывным образом от начальных данных

В нашей модели существует индетерминизм, когда происходит тройное столкновение! Если угодно, то мы можем просто исключить тройные столкновения и столкновения более высокого порядка как «в высшей степени (бесконечно) невероятные». Это дает вполне непротиворечивую схему, но потенциальная проблема тройных столкновений означает, что результирующее поведение частиц может не зависеть непрерывным образом от начального состояния.

Поскольку такое положение дел нас не совсем удовлетворяет, то мы можем отдать предпочтение картине точечных частиц. Но для того, чтобы избежать некоторых теоретических трудностей, возникающих в рамках этого подхода (бесконечные силц и бесконечные энергии при столкновении частиц), необходимо сделать дополнительные предположения, в частности о том, что на коротких расстояниях силы, действующие между частицами, всегда становятся отталкивающими. Тогда мы можем обеспечить невозможность столкновения любой пары частиц. (Оно также помогает нам избежать проблемы определения поведения частиц при столкновении!) Но для большей наглядности я все-таки буду рассматривать модель твердых сферических шариков, ибо, как мне кажется, подобная «бильярдная» картина для большинства из нас подсознательно как раз и является рабочей моделью реальности!

Подчеркнем (игнорируя проблему столкновения нескольких шариков), что ньютонианская [109]бильярдная картина реальности в действительности является детерминистской моделью. Слово «детерминистская» надлежит понимать в том смысле, что физическое поведение системы с математической точки зрения полностью определено во все моменты времени в будущем (или в прошлом) положениями и скоростями шариков (во избежание некоторых проблем предположим, что число шариков конечно) в какой-то один момент времени. Таким образом, создается впечатление, будто в таком бильярдном мире нет места для разума, который своей «свободной волей» мог бы влиять на поведение материальных объектов. Если мы верим в «свободу воли», то, по-видимому, вынуждены будем усомниться в возможности описания нашего реального мира в рамках бильярдной модели.