Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Интуитивная догадка, которая позволила нам установить, что утверждение Геделя P _k( k) является на самом деле истинным, представляет собой разновидность общей процедуры, известной логикам как принцип рефлексии: посредством нее, размышляя над смыслом системы аксиом и правил вывода и убеждаясь в их способности приводить к математическим истинам, можно преобразовывать интуитивные представления в новые математические выражения, невыводимые из тех самых аксиом и правил вывода. То, как нами была выше установлена истинность P _k( k), как раз базировалось на применении этого принципа. Другой принцип рефлексии, имеющий отношение к доказательству Геделя (хотя и не упомянутый выше), опирается на вывод новых математических истин исходя из представления о том, что система аксиом, которую мы полагаем априори адекватной для получения математических истин, является непротиворечивой. Применение принципов рефлексии часто подразумевает размышления о бесконечных множествах, и при этом нужно быть всегда внимательным и остерегаться рассуждений, которые могут привести к парадоксам наподобие расселовского. Принципы рефлексии полностью противопоставляются рассуждениям формалистов. Если использовать их аккуратно, то они позволяют вырваться за жесткие рамки любой формальной системы и получить новые, основанные на интуитивных догадках, представления, которые ранее казались недостижимыми. В математической литературе могло бы быть множество приемлемых результатов, чье доказательство требует «прозрений», далеко выходящих за рамки исходных правил и аксиом стандартной формальной системы арифметики. Все это свидетельствует о том, что деятельность ума, приводящая математиков к суждениям об истине, не опирается непосредственно на некоторую определенную формальную систему. Мы убедились в истинности утверждения Геделя P _k( k), хотя мы и не можем вывести ее из аксиом системы. Этот тип «вйдения», используемый в принципе рефлексии, требует математической интуиции, которая не является результатом чисто алгоритмических операций, представимых в виде некоторой формальной математической системы. Мы вернемся к этому вопросу в главе 10.

Читатель может заметить определенное сходство между рассуждениями, устанавливающими, вопреки «недоказуемости», истинность P _k( k), и парадоксом Рассела. Помимо этого, наблюдается сходство и с доказательством Тьюринга о невозможности существования «машины Тьюринга», которая могла бы решить проблему остановки. Эти сходства не случайны. Между этими тремя событиями имеется прочная историческая нить. Тьюринг пришел к своему доказательству после изучения работ Геделя. Сам Гедель был очень близко знаком с парадоксом Рассела и смог преобразовать те парадоксальные рассуждения, которые уводили слишком далеко в область логических абстракций, в состоятельное математическое доказательство. (Все эти утверждения уходят корнями к диагональному процессу Кантора, описанному в предыдущей главе)

Почему мы должны принимать доказательства Геделя и Тьюринга и в то же время сбрасывать со счетов рассуждения, ведущие к парадоксу Рассела? Первые являются более ясными и безупречными с точки зрения математики, тогда как парадокс Рассела строится на более туманных рассуждениях об «огромных» множествах. Но нужно признать, что различия здесь не настолько очевидны, как нам хотелось бы. Попытка придать этим различиям ясность была лейтмотивом всей идеи формализма. Доказательство Геделя, с одной стороны, показывает, что строгий формальный подход не выдерживает критики, но с другой стороны, оно не приводит нас к абсолютно надежной альтернативе. По-моему, этот вопрос до сих пор не разрешен. Процедура, используемая в современной математике с целью избежать рассуждений, вовлекающих в рассмотрение «огромные» множества и приводящих к парадоксу Рассела, не является полностью удовлетворительной [76]. Более того, она, как правило, формулируется в чисто формалистских терминах — или же в терминах, которые не дают нам полной уверенности, что в результате их использования не возникнет противоречий.