Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Графическое изображение броуновского движения частицы. Можно оценить сложность траектории и ее самоподобие в различных масштабах. На нижней иллюстрации приведено увеличенное изображение траектории движения между точками А и В верхнего изображения.

Строго говоря, траектория броуновской частицы не отражает физическую действительность. Положение частицы фиксировалось каждые 30 с и обозначалось точкой, затем эти точки соединялись прямыми. Следовательно, физическую действительность отражают только точки, которые обозначают положение броуновской частицы по прошествии определенного промежутка времени. Так, если мы рассмотрим две соседние точки А и В, будем обозначать положение частицы с интервалом не в 30 с, а в 0,3 с и будем соединять полученные точки прямыми, то снова получим ломаную линию той же сложности, но меньших размеров. Можно выбрать еще меньший интервал, например 0,003 с, но и в этом случае ситуация принципиально не изменится. Траектория броуновской частицы имеет одинаково сложную структуру вне зависимости от выбора временного интервала наблюдений.

Интересно, что этот факт заметил еще Перрен в 1906 г. В частности, он обратил внимание на то, что для выбранной точки траектории броуновской частицы нельзя провести касательную, и отметил:

«Говоря языком геометрии, кривые, не имеющие касательных, могут считаться правилом, в то время как правильные кривые — такие, например, как окружность, — любопытным, но весьма частным случаем.

<…> Те, кто впервые слышит о кривых без касательных, часто склонны полагать, что в природе не существует ни подобных сложных конструкций, ни даже намека на них.

Не покидая экспериментально подтверждаемой реальности, мы наблюдаем под микроскопом проявление броуновского движения на примере малой частицы, взвешенной в толще жидкости. Мы видим, что направление прямой, соединяющей точки, соответствующие двум очень близким во времени положениям частицы, изменяется по мере уменьшения временного промежутка между двумя измерениями совершенно беспорядочно. Беспристрастный наблюдатель заключит из этого, что он имеет дело с кривой, к которой нельзя провести касательную».

Комментарий Перрена остался без внимания, и этим вопросом никто не занимался до конца 1960-х годов, когда французский и американский математик Бенуа Мандельброт вновь поднял эту тему. Если бы исследователи уделили больше внимания наблюдениям Перрена в начале века, то фундамент нового раздела геометрии был бы заложен на шесть десятилетий раньше.

Бенуа Мандельброт родился в Польше в 1924 г. в семье литовских евреев и в 1936 году эмигрировал во Францию, где поселился его дядя Шолем — один из участников и основателей группы Бурбаки[13]. Члены группы Бурбаки, в частности, отрицали возможность применения геометрических фигур и графиков для иллюстрации понятий или доказательств: они считали, что зрение может обманывать разум.

В 1945 г. дядя порекомендовал Бенуа ознакомиться с 300-страничной рукописью французского математика Гастона Жюлиа под названием «Записка о приближении рациональных функций». В соответствии с идеями школы, членом которой он являлся, Шолем Мандельбройт посоветовал племяннику забыть о геометрии. Мандельброт не последовал совету дяди, хотя и обратился к рукописи лишь в 1970 г., когда с помощью компьютеров в исследовательском центре IBM имени Томаса Джона Уотсона получил иллюстрации, удивившие научное сообщество высоким уровнем детализации. Позднее эти иллюстрации стали называться множествами Мандельброта.

Вместе со своими предшественниками Мандельброт вывел на передний план в математике и естественных науках новую дисциплину, которая приобрела огромное значение. Этой дисциплиной была фрактальная геометрия.