О новых математических функциях и новое о некоторых известных функциях

Введение

В настоящей статье представлены новые, ранее неизвестные функции, которые являются обобщением известных элементарных функций, таких как логарифмическая и показательная.

Так обобщенная или полная натуральная логарифмическая функция есть:

= (1)

которая сходится при .

Полный логарифм (1) является одним из корней уравнения

(2)

где неизвестное .

Полная натуральная показательная функция есть

(3)

Которая сходится при и комплексных .

Функции (1) и (3) связаны соотношением:

(4)

Поэтому остальные корни уравнения (2) равны:

(5)

где

Полный логарифм (1) можно преобразовать в формулу, удобную для вычислений:

(6)

Например, вычислим , что соответствует уравнению , которое имеет семь корней, три действительных и четыре комплексных.

Подставив в (6) получим

Другие два действительных значения следуют из формулы (5) при

В данной работе приведены некоторые соотношения полных функций, а также их формулы обращения, частные значения, неопределенные интегралы, уникальные графики функций.

Показано применение полных функций в теории распределения простых чисел и при решении некоторого класса уравнений.

Представлены другие результаты исследований автора, такие как новые формулы для простых чисел, разложения , о значении квадратного корня из отрицательного числа и др.

Логарифмическая и показательная (функции

LATKOVA

Определение

1.1. 

=

где k – любое число.

1.2. 

Графики некоторых логарифмических и показательных функций Latkova представлены на рис. 1.

Функции по произвольному основанию.

2.1. 

2.2. 

2.3. 

.

2.4. 

Некоторые соотношения.

3.1. 

.

3.2. 

.

3.3. 

3.3.1. 

=

3.4. 

(

3.5. 

3.6. 

3.7. 

3.8. 

3.9. 

3.10. 

3.11. 

3.12. 

3.13. 

3.14. 

.

3.15. 

.

Формулы обращения

4.1. 

Если

4.2. 

.

4.3. 

.

4.4. 

4.5. 

.

4.6. 

4.7. 

, y=

4.8. 

4.9. 

4.10. 

.

4.11. 

4.12. 

Если

то корнями этого уравнения будут

,

, k=1,2….d

Если воспользоваться соотношением (3.1.), то и y можно записать в виде:

Экстремальные точки кривой 4.12:

– точка перегиба

– точка максимума (минимума)

Некоторые неравенства

5.1. 

5.2. 

5.3. 

5.4. 

5.5. 

5.6. 

5.7. 

5.8. 

5.9. 

5.10. 

Частные значения

6.1. 

6.2. 

6.3. 

6.4. 

6.5. 

6.6. 

6.7. 

6.8. 

6.9. 

6.10. 

6.11. 

6.12. 

6.13. 

6.14. 

6.15. 

6.16. 

6.17. 

6.18. 

6.19. 

6.20. 

6.21. 

6.22. 

Производные

7.1. 

7.2. 

7.3. 

7.4. 

7.5. 

7.6. 

Неопределенные интегралы

Интегралы, содержащие , подстановкой приводятся к известным интегралам от показательной функции.

8.1. 

(интегральное представление функции)

8.2. 

8.3. 

8.4. 

8.5. 

8.6. 

8.7. 

8.8. 

8.9. 

8.10. 

8.11. 

8.12. 

8.12a =

Из сравнения равенств 8.12 и 8.12а, при замене на , а на , получим неизвестное ранее выражение для :

(8.12.1)

8.13. 

(интегральное представление функции)

8.14. 

8.15. 

8.16.