Об идолах и идеалах

Метод «проб и ошибок» очень непродуктивен и в жизни, и в науке. Его закон – чистый случай. К успеху он приводит так же редко, как и попытка получить осмысленную фразу путем рассыпания типографского шрифта с надеждой: не уляжется ли он, случаем, в какой-то забавной последовательности... Поэтому «чистым» методом «проб и ошибок» не действует ни один человек. Действие в поле[252] свободного выбора всегда предполагает в той или иной степени способность продуктивного воображения. В такой функции она чаще всего называется «интуицией», которая позволяет сразу, без испытывания, отбросить массу путей решения и предпочесть более или менее ограниченный круг поиска. Она ограничивает сферу «проб и ошибок», и чем интуиция более развита и культурна, тем более определенным с самого начала становится поиск.

* * *

Интуиция кажется очень таинственной и загадочной. На фактах, связанных с ее действием, особенно любят спекулировать сторонники иррационализма в философии. Причем, сами факты настолько пестры и разнообразны, что можно впасть в отчаяние при попытке дать им рациональное материалистическое толкование, подвести их под какое-то общее правило, выявить хоть какой-то общий принцип и закон, которому они все подчиняются.

Мы все же попробуем обрисовать некоторые характерные особенности интуиции. Для иллюстрации воспользуемся любопытной геометрической теоремой, анализ которой прямо сталкивает с действием интуиции или силы воображения, повинующейся тому оригинальному ощущению, которое называется ощущением красоты... Оригинальность этой теоремы, занимавшей в свое время ум Декарта, заключается в том, что чисто формальные доказательства оказываются здесь абсолютно бессильными, если они лишаются опоры на интуитивное соображение, имеющее ярко выраженный эстетический характер, на соображение, вернее, на довод непосредственного чувства, который сам по себе опять-таки никакому[253] формально логическому доказательству не поддается и тем не менее лежит в основе исследований такого строгого математика, каким был, например, Кеплер.

Речь идет о так называемой «изопериметрической теореме». Суть теоремы, сформулированная Декартом, состоит в следующем. Сравнивая круг с другими геометрическими фигурами, равными ему по площади, мы убеждаемся, что он имеет наименьший периметр. Декарт составил соответствующую таблицу, которая выглядит так:

Периметры фигур равной площади:

Круг – 3,55

Квадрат – 4,00

Полукруг – 4,10

Равносторонний треугольник – 4,56

и т.д. Не будем продолжать таблицу Декарта, где приведены десять фигур.

Далее представим слово автору книги «Математика и правдоподобные рассуждения». «Можем ли мы отсюда посредством индукции вывести, как, по-видимому, предлагает Декарт, что круг имеет наименьший периметр не только среди десяти перечисленных фигур, но и среди всех возможных фигур? Никоим образом», – говорит Пойа. Обобщение, полученное из десяти случаев, никогда не дает гарантии в том, что в одиннадцатом случае будет то же самое. Мы имеем дело все с той же проблемой всеобщности и необходимости вывода, базирующегося на ограниченном числе фактов. Кант, как известно, «решил» ее, заключив, что ни одно понятие, выражающее «общее» в фактически наблюдаемых явлениях, не может претендовать на всеобщность и необходимость и всегда находится под угрозой той[254] судьбы, которая постигла знаменитое суждение «все лебеди – белы».

Тем не менее, продолжает Пойа, Декарт, как и мы, рассматривающие изопериметрическую теорему, был почему-то убежден, что круг есть фигура с наименьшим отношением периметра к площади не только по сравнению с десятью перечисленными, но и по сравнению «со всеми возможными» фигурами. В самом деле, наше убеждение настолько сильно, что мы не нуждаемся в продолжении ряда, в дальнейших сравнениях.

В чем тут дело? В чем отличие от другой сходной ситуации, например от такой: пойдем в лес, выберем наугад десять деревьев разных пород, измерим удельный вес древесины каждого из них и выберем дерево с наименьшим удельным весом. Иными словами, мы сделали то же самое, что и с геометрическими фигурами... Разумно ли отсюда заключать, что мы нашли дерево, удельный вес которого меньше удельного веса всех существующих и возможных деревьев, а не только тех, которые мы измерили и взвесили?

«Верить этому было бы не только не разумно, но глупо.

В чем же отличие от случая круга? Мы расположены в пользу круга. Круг – наиболее совершенная фигура; мы охотно верим, что вместе с другими своими совершенствами круг для данной площади имеет наименьший периметр. Индуктивный аргумент, высказанный Декартом, кажется таким убедительным потому, что он подтверждает предположение, правдоподобное с самого начала».

Вот все, что может сказать в обоснование правильности изопериметрической теоремы строгий математик. Если он хочет сказать что-то большее, он[255] вынужден обратиться за помощью к эстетическим категориям. И Пойа приводит ряд высказываний, в том числе Данте, который (вслед за Платоном) называл круг «совершеннейшей», «прекраснейшей» и «благороднейшей» фигурой...