Об идолах и идеалах

Не нужно, конечно, думать, что каждый ребенок здесь вынужден самостоятельно изобретать все те формулы, которые сотни, а может быть и тысячи лет назад уже изобрели для него люди ушедших поколений. Но повторить логику пройденного пути он должен. Тогда сами формулы усваиваются им не как магические абстрактные рецепты, а как реальные, совершенно конкретные общие принципы решения реальных же, конкретных задач.

В частности, на основе специальных исследований психологи убедились, что описанная нами выше методика преподавания счета дает детям не понятие числа, а лишь два абстрактных, притом противоречащих одно другому, представления о числе. Два частных случая числового выражения реальных вещей — вместо действительно общего принципа.

И тогда пришли к выводу, что сначала нужно объяснить детям действительно общую природу числа, а уже потом показывать два частных случая его применения.

Но само собой ясно, что ребенку не сообщишь «понятия» числа, очищенное от каких бы то ни было следов «наглядности», от связи с каким-нибудь одним частным случаем. Поэтому надо искать и найти такой частный (а потому чувственно-предметный) случай, где число и необходимость действий с числом выступали бы перед ребенком в общем виде. Нужно искать такое частное, которое выражало бы прежде всего именно общую природу числа, а не подсовывало бы опять лишь и только частное ее проявление.

Пытаясь решить эту задачу — отчасти психологическую, отчасти логическую и математическую, психологи поняли, что неправильно вообще начинать обучение детей математике с числа, то есть с операции счета, сосчитывания, безразлично — единичных вещей или их составных частей ^[22]. Есть все основания полагать, что действия с числами, составляющие традиционную арифметику, — далеко не самые простые, а арифметика вовсе не составляет самого «первого этажа» математического мышления. Скорее таким этажом оказываются некоторые понятия, обычно относимые к алгебре.

Опять парадокс. Ведь по традиции считается издавна, что алгебра — вещь более сложная, чем арифметика, посильная лишь шестикласснику и в «истории математики» оформившаяся позже. Анализ, однако, показывает, что и в истории знания алгебра необходимо должна была возникнуть не позже арифметики. Конечно, речь идет о действительной истории математического развития людей, а не об истории математических трактатов, которая отражала подлинную историю лишь «задним числом», а потому — вверх ногами.

Как показывают исследования, простейшие количественные соотношения, которые описывает алгебра, и в истории были осознаны раньше, чем человек вообще изобрел число и счет. В самом деле, раньше, чем люди изобрели число, счет, сложение, вычитание, деление и умножение чисел, они по необходимости должны были пользоваться такими словами, как «больше», «меньше», «дальше», «ближе», «потом», «раньше», «равно», «неравно» и т. п. Именно в них нашли свое выражение общие количественные (пространственно-временные) соотношения между вещами, явлениями, событиями.

Но в специально математических трактатах самая ранняя стадия математического развития мышления, естественно, зафиксирована не была. И если реальная история развития математического мышления началась раньше, чем появились первые теоретические трактаты по математике, то и логическая последовательность преподавания математики (= развития математической способности) должна начинать с действительного «начала». С правильной ориентировки человека в количественном плане реальной действительности, а не с числа, которое представляет собою лишь позднюю (а потому и более сложную) форму выражения количества, лишь частный случай количества.

Поэтому надо начинать с действий, выделяющих для человека этот количественный план рассмотрения окружающего мира, чтобы потом прийти к числу как к развитой форме выражения количества, как к более позднему и сложному умственному отвлечению.

Принцип совпадения логического с историческим — великий принцип диалектической логики. Но его проведение предполагает одну опять-таки диалектически-коварную деталь. А именно: логическое должно соответствовать действительной истории предмета, а не истории теоретических представлений о его развитии.

Анализируя историю политической экономии, Карл Маркс отметил важнейшее (с точки зрения диалектики) обстоятельство: «…Историческое развитие всех наук приводит к их действительным исходным пунктам лишь через множество перекрещивающихся и окольных путей. В отличие от других архитекторов, наука не только рисует воздушные замки, но и возводит отдельные жилые этажи здания, прежде чем заложить его фундамент»^[23]. Да, действительный логический фундамент, на котором держатся верхние этажи, наука «открывает» в своем предмете лишь задним числом.