Объективная диалектика

При математическом отображении состояния каждое свойство изучаемого объекта сопоставляют с переменной X₁, X₂, X₃…, X_n, где n — конечное число. Обычно предполагается, что переменные могут принимать любые значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Но если мы рассматриваем переменные как отображение соответствующих свойств материального объекта, то ситуация принципиально меняется. Совокупность значений, которые может принимать та или иная переменная, называют обычно областью ее задания. Поскольку переменные сопоставляются со свойствами состояния, области ее задания ограничены как снизу, так и сверху. В самом деле, из закона перехода количества в качество следует, что никакое свойство не может иметь бесконечно большого значения. Каждое состояние характеризуется конечным набором значений переменных, которые по условию являются независимыми в том смысле, что не могут быть выведены, представлены друг через друга. Вся совокупность возможных сочетаний значений переменных образует область возможных состояний данного материального объекта.

Используя язык математики, можно сказать, что мы имеем дело с пространством состояний. Каждое отдельное состояние может рассматриваться как элемент или точка N-мерного пространства состояний. Принципиальное отличие пространства состояний от обычного математического N-мерного пространства состоит в том, что оно не может быть бесконечным. Его объем всегда конечен в силу того, что ни одна переменная не получает бесконечных значений.

Пространство состояний является необходимым, но недостаточным условием для отображения меры. На этом уровне единство количества и качества рассматривается еще абстрактно в том смысле, что оно берется лишь по отношению к отдельным переменным, отображающим свойства состояния. Между тем, как подчеркивалось выше, специфика меры заключается в том, что свойства не просто сосуществуют, а находятся в определенной взаимозависимости. Она должна быть выражена в том аппарате, посредством которого категория меры отображается.

При абстрактном подходе верхняя и нижняя границы того или иного свойства определяются лишь его природой. Тем самым предполагается, что каждая переменная может получать значения из области своего задания безотносительно к тому, какие значения принимают другие переменные. Но в действительности закон перехода количества в качество действует по отношению не только к отдельным свойствам, но и к их совокупности. Это означает, что область задания той или иной переменной, взятой отдельно, отлична от области задания той же переменной как части определенной совокупности других переменных, образующих целое.

Следовательно, переход к новому уровню описания выражает внутреннее функциональное единство, а значит, и целостность отображаемой качественной определенности материального объекта. В силу того что на каждую переменную, поскольку она рассматривается в системе, накладываются дополнительные условия, детерминированные ее зависимостью от целого, область задания переменных сокращается. Поэтому оказывается, что для описания материальных объектов с точки зрения меры приходится вводить пространство, существенно отличающееся по своему объему от пространства состояний. Мы будем называть его пространством меры.

Пусть свойства состояния отображаются теми же переменными X₁, X₂…, X_n. Тогда для каждого X должно существовать определенное его значение A. Как только X₁принимает значение меньше A, сразу же разрушается соответствующее качество, поскольку нарушается мера. Точно так же для каждой переменной должно существовать значение B. Как только соответствующая переменная приобретает значение больше B, то происходит выход за пределы меры и данная качественная определенность разрушается. Соответствующие значения переменных образуют верхние и нижние границы в пространстве меры. Таким образом, любое качественное состояние материального объекта может быть сопоставлено с определенной точкой пространства меры.

Не трудно видеть, что аппарат пространства состояний и пространства меры аналогичен чрезвычайно широко применяемому математическому аппарату N-мерного пространства, и в частности фазового пространства. Значение аппарата пространства состояний и пространства меры заключается в том, что он получен на основе предельно общих категорий качества, количества и их взаимосвязи. В противоположность этому аппарату математический аппарат N-мерного пространства строится формально, с использованием многих идеализации, что чрезвычайно затрудняет понимание его связи с действительностью. Поэтому нередко идеализации аппарата N-мерного пространства приписываются самим отображаемым объектам. Пространство состояний и пространство меры служат методологическими принципами, позволяющими правильно понять место и роль соответствующего математического аппарата при описании той или иной области материальных объектов.