Объясняя мир. Истоки современной науки

Внимательный читатель уже заметил, что это очень похоже на картину, описываемую законами Кеплера. Конечно, роли Солнца и Земли в астрономических системах мира Птолемея и Коперника противоположны, но пустой фокус эллипса в теории Кеплера играет ту же самую роль, что и эквант в теории Птолемея, а Второй закон Кеплера объясняет, почему введение экванта помогло улучшить теоретические предсказания видимых положений планет по теории Птолемея.

Теперь докажем равенство (1). Определим как угол между большой осью эллипса и отрезком, соединяющим Солнце и планету, и вспомним, что  определен как угол между той же большой осью и отрезком, соединяющим планету и пустой фокус. Так же, как в техническом замечании 18, обозначим длины этих отрезков r+ и r– то есть расстояния от Солнца до планеты и от планеты до пустого фокуса орбиты соответственно. Как было показано, они равны

где х – горизонтальная координата точки на эллипсе, то есть расстояние между точкой и прямой, секущей эллипс вдоль его малой оси.

Косинус угла определяется в тригонометрии с использованием прямоугольного треугольника, один из углов которого равен данному: косинусом называется отношение длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы треугольника. Поэтому из рис. 15 мы можем записать:

Рис. 15. Орбитальное движение планеты по эллипсу. Орбита планеты вычерчена здесь как эллипс, имеющий эксцентриситет (как и на рис. 12) около 0,8 – значительно больше, чем у какой-либо планеты Солнечной системы. Отрезки, обозначенные r₊ и r_-, соединяют планету, соответственно, с Солнцем и с противоположным ему, пустым фокусом эллипса.

Уравнение слева мы можем решить, найдя из него x:

Подставляя результат в формулу для cos , выражаем связь между углами и :

Поскольку равенство справедливо при любых значениях угла , изменение в левой части равенства должно быть равно изменению в правой части при любом изменении . Допустим, мы производим бесконечно малое его изменение (дельта тета). Чтобы рассчитать, насколько изменится , прибегнем к правилу дифференциального исчисления, согласно которому изменение любого угла  (это может быть  или ) на величину (дельта альфа) приводит к изменению cos  на величину – (/R) sin . Оттуда же при изменении любой функции f, такой, например, как знаменатель в уравнении (5), на ничтожно малую величину f изменение в отношении 1/f составляет -f/f2. Приравняв соответствующие изменения с обеих сторон равенства, получаем:

Теперь нам нужна формула, связывающая sin  и sin . Для этого посмотрим на рис. 15 и обратим внимание, что вертикальная координата y точки на линии эллипса выражается как y = r + sin , а также y = r - sin , и, поделив их, сократив y, получаем:

Совмещая уравнения (7) и (6), имеем:

Итак, какова же площадь, описываемая радиус-вектором планеты, проведенным от Солнца, когда угол изменяется на ? Измеряя углы в градусах, мы можем сказать, что это площадь равнобедренного треугольника, две равные стороны которого имеют длину r₊, а третья – маленькая часть дуги общей длиной 2r₊ окружности радиусом r+, равная 2r₊ x /360°. Она равна

В этой формуле поставлен минус, поскольку мы хотим, чтобы величина A росла, если увеличивается угол ; но если вспомнить, как мы определили эти углы, будет расти в том случае, если уменьшается , поэтому больше нуля, когда меньше нуля. Поэтому уравнение (8) можно переписать в виде:

Принимая, что A и  – описываемая первым радиус-вектором площадь и угол поворота второго радиус-вектора за ничтожно малый промежуток времени t, и поделив обе части уравнения (10) на t, найдем соответствие между описываемыми площадями и углами в виде равенства

Нами получено точное равенство. Но теперь посмотрим, как оно себя ведет в том случае, когда e очень мал. Числитель второй дроби в уравнении (11) имеет вид (1 - e cos )^2 = 1 - 2e cos  + e^2cos^2, так что слагаемые нулевого и первого порядка в числителе и знаменателе дроби одни и те же, и вся разница между числителем и знаменателем заключается в коэффициентах членов, пропорциональных e^2. И значит, уравнение (11) полностью соответствует искомому нами с самого начала равенству (1). Для большей определенности мы можем оставить в уравнении (11) члены порядка e^2:

где O (e^3) обозначает члены, пропорциональные e^3 или более высоким степеням e.

22. Фокусное расстояние линзы

Рассмотрим поставленную вертикально линзу с выпуклой передней стороной и плоской задней – похожие линзы Галилей и Кеплер использовали для изготовления объективов своих телескопов. Из криволинейных поверхностей легче всего полировать сферические, и мы допустим, что форма передней поверхности линзы – сегмент сферы радиусом r. Также в наших рассуждениях будем считать, что линза тонкая, то есть ее максимальная толщина значительно меньше, чем r.