Объясняя мир. Истоки современной науки

Хитрость в доказательстве этой теоремы заключается в том, что необходимо из центра C окружности провести в точку P радиус CP. При этом треугольник ABP окажется разделен на два треугольника: ACP и BCP (см. рис. 1). Оба эти треугольника являются равнобедренными, то есть такими, у которых две стороны равны. В треугольнике ACP стороны CA и CP являются радиусами окружности и, по определению окружности, равны (будем обозначать стороны треугольника по точкам, которые они соединяют). Аналогично в треугольнике BCP равны стороны CB и CP. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны между собой, поэтому угол α (альфа) между сторонами AP и AC равен углу между сторонами AP и CP, а угол β (бета) между сторонами BP и BC равен углу между сторонами BP и CP. Сумма углов любого треугольника равна удвоенному прямому углу[26], или, как сейчас принято говорить, 180°, поэтому если в треугольнике ACP третий угол между сторонами AC и CP обозначить α′ и точно так же обозначить β′ угол между сторонами BC и CP в треугольнике BCP, то будут верны равенства:

2α +α' = 180°; 2β+β' = 180°

Сложив оба равенства и переставив слагаемые местами, получим:

2(α + β)+ (α' + β') = 360°.

Учтем, что α′ + β′ – это развернутый угол между сторонами AC и BC, то есть такой угол, лучи которого образуют отрезок прямой линии. Его величина составляет 180°, поэтому:

2(α + β) = 360° − 180° = 180°.

Следовательно, α + β = 90°. Но если посмотреть на рисунок 1, то легко увидеть, что угол α + β – это угол между сторонами AP и BP в исходном треугольнике ABP, значит, он является прямоугольным треугольником, что и требовалось доказать.

Рис. 1. Доказательство теоремы Фалеса. Теорема утверждает, что для любой взятой на окружности точки P угол между отрезками, проведенными из этой точки к концам произвольного диаметра AB, будет прямым.

2. Платоновы тела

В рассуждениях Платона о природе вещества центральное место занимает класс геометрических тел, известных как правильные многогранники, которые также известны как платоновы многогранники. Правильные многогранники можно рассматривать как трехмерную аналогию правильных многоугольников в планиметрии, и в определенном смысле они строятся из правильных многоугольников. Правильный многоугольник – это плоская фигура, ограниченная n одинаковыми отрезками, имеющая n вершин, причем углы, образуемые соседними сторонами при каждой вершине, равны. Например, правильными многоугольниками являются равносторонний треугольник (треугольник, все стороны которого равны) и квадрат. Правильный многогранник – это объемное тело, ограниченное одинаковыми правильными многоугольниками, причем все его вершины представляют собой равные телесные углы, стороны которых образованы N равными многоугольниками-гранями.

Самый привычный пример правильного многогранника – это куб. Куб образуют шесть одинаковых граней-квадратов, в каждой из его восьми вершин смыкаются три квадратные грани. Есть еще более простой правильный многогранник, тетраэдр: это треугольная пирамида, образованная четырьмя одинаковыми равносторонними треугольниками, у него четыре вершины, в каждой их которых смыкаются три треугольные грани. (Мы рассматриваем только выпуклые многогранники, у которых каждая вершина направлена наружу – к ним относятся и куб, и тетраэдр.) Из текста «Тимея» понятно, что Платон откуда-то знал о том, что может быть лишь пять различных видов таких правильных многогранников, и он посчитал, что атомы различных форм материи имеют форму именно этих многогранников. Пять правильных многогранников включают тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр с 4, 6, 8, 12 и 20 гранями соответственно.

Сохранившееся со времен античности свидетельство о самой ранней попытке доказать, что существует лишь пять правильных многогранников, имеется в финальной, кульминационной части «Начал» Евклида. В предложениях 13–17 книги XIII Евклид описывает геометрическое строение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра. Затем он пишет: «Вот я утверждаю, что, кроме упомянутых пяти тел, нельзя построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу <многоугольниками>»[27]. На самом деле после этого утверждения Евклид доказывает более узкую теорему о том, что в правильном многограннике существует только пять возможных комбинаций количества сторон n у каждой многоугольной грани и количества N смежных в каждой вершине многоугольников. Ниже приведено доказательство, аналогичное евклидову, но с использованием современной терминологии.