Образовательные процессы и ресурсы высшей школы в области радиоэлектроники

Логическую относительность науки в начале XX века стали энергично пропагандировать аналитики, прежде всего Г. Фреге и Б. Рассел. Эта разновидность относительности была хорошо известна уже философам античности, которые обычно членили философию на три части: логику, физику и этику. На протяжении всего многовекового пути развития философии мало кто сомневался, что логика полезна как исследователю, так и практику. Новация, которую провозгласили аналитики, состояла в том, что новейшая наука нуждается в исключительно рафинированной (математической) логике, которая пришла на смену традиционной, аристотелевской логике. Без математической логики науки оказываются бессильными перед многочисленными парадоксами и другими типами затруднений. Иначе говоря, изучая ту или иную науку, следует иметь четкое представление об ее логическом устройстве.

Специфика логики заключается в том, что она оперирует не словами в их привычном виде, а терминами, формулами, теоремами, высказываниями, переменными, операторами. Существенно, что ее язык всегда формализован. Главная его отличительная черта определяется принятием особой системы логического анализа. В этой связи важнейшими логическими концептами являются истина, логическое следование, общезначимость, разрешимость, выполнимость, непротиворечивость, полнота. С указанными концептами, а также некоторыми другими связаны те или иные определения логики. В кратчайшем изложении логику можно определить как анализ формализованных языков посредством концептов истины и логического следования. Логика, подобно любой другой науке, связана с многочисленными ограничениями, правилами запрета, которые, определяя ее статус, интуитивному уму представляются довольно необычными. Дадим краткое описание основных концептов.

Логическая система называется полной, если все ее формулы доказуемы.

Независимость аксиом имеет место в том случае, если ни одна из них не выводима из других аксиом.

Теория непротиворечива, если в ней не выводимо противоречие, то есть А и не – А. С концептом непротиворечивости теории часто сравнивают чрезмерное логическое следование (если для любых формул А и В из А и не-А следует произвольная формула В).

Если теория непротиворечива и любые ее модели изоморфны в обычном смысле, то она называется категоричной.

Теорема считается в рамках данной теории разрешимой, если существует ее решение. Обычно считается, что разрешающий метод должен быть алгоритмом.

Итак, основные методологические регулятивы суть следующие: полнота, непротиворечивость, независимость, категоричность, разрешимость. Эти регулятивы определенным образом оцениваются, и в этой связи вырабатываются идеалы логического знания. Обратимся в этой связи к логике предикатов первого порядка, основной теории современной логики. В первопорядковой логике имеется лишь один тип квантифицируемых переменных – индивидуальные переменные. В логике предикатов второго порядка переменные пробегают по признакам индивидов. В логике предикатов третьего порядка переменные пробегают по признакам признаков.

Метатеоремы логики предикатов имеет смысл разделить на два класса – «положительные» (или неограничительные) и «отрицательные» (или ограничительные). Чаще других среди «положительных» метатеорем логики предикатов называются следующие.

Для логики предикатов существует независимость некоторого множества аксиом (теорема Дж. Маккинси).

Классическое исчисление предикатов первого порядка семантически непротиворечиво, то есть каждая его формула универсально общезначима.

Исчисление предикатов также синтаксически непротиворечиво, то есть нет такой формулы А, что доказуемо и А, и не – А.

Всякая общезначимая формула доказуема (теорема о полноте К. Гёделя).

Но наряду с «положительными» существует также целый ряд ограничительных теорем первопорядковой логики предикатов.

При некоторых довольно слабых условиях, налагаемых на теорию Т, свойство быть истинной формулой теории Т не выразимо в Т (теорема А. Тарского).

Далеко не очевидно содержание теоремы К. Гёделя о неполноте. Если все формулы теории Т общезначимы, то она неполна, то есть существует такая формула А, что ни А, ни не – А не доказуемы в Т.

Еще одна ограничительная формула гласит: исчисление предикатов не является синтаксически полным, то есть к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворечивой.

Далее. Логика предикатов не является категоричной (теорема Л. Левенгейма и Т. Сколема), то есть ее модели могут быть неизоморфными.

Теорема А. Чёрча: не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы логики предикатов решить вопрос, является ли она доказуемой в данной теории.