Онтология математического дискурса

5. Рассуждение Беркли может иметь нечто общее с брауэровским проектом построения математики. Желание ограничить предмет математики конечными числовыми конструкциями, полностью представимыми в воображении, близко к намерению не выходить за пределы чувственных восприятий. Хотя оба мыслителя совершенно по-разному представляли себе деятельность математика и природу математических объектов, однако их сближает некий радикализм в попытке ограничения сферы исследования этой науки. Насколько нам известно, в истории математики нет других примеров такого рода - когда бы предлагалось практически ликвидировать целые математические дисциплины. вернуться в текст

6. Е.Д. Смирнова, сопоставляя взгляды Гильберта с философией Канта, указывает на связь идеальных элементов с трансцендентальными идеями разума. Именно действие разума позволяет выйти за рамки пространственно-временных отношений и перейти к рассмотрению понятий, не описывающих ничего, что лежало бы в ряду явлений. Мы не можем согласиться с такой интерпретацией, поскольку, считаем, что своим появлением в математическом рассуждении идеальные элементы обязаны не разуму, а способности суждения. Хотя при определении этих элементов и происходит "отлет от реальности" (выражение Е.Д. Смирновой), но все же их введение приводит к созданию новой реальности - дискурсивной конструкции, разворачиваемой в пространстве и времени. (Заметим, что слово "реальность" понимается здесь строго в кантовском смысле - см. Примечание 2 к Главе 3.) Акт рефлективной способности суждения как раз и подразумевает такое, если можно так выразиться, квази-трансцендирование, уход от реальности наличного опыта (но не выход за пределы возможного опыта). Именно в таком действии и состоит смысл финитной установки - всякое обоснование должно быть основано на предъявлении конечного, доступного созерцанию объекта. Поэтому для понятия идеального элемента (например, для понятия бесконечно удаленной точки или трансфинитного числа) чувства могут дать адекватный предмет (ср. B383 "Под идеей я разумею необходимое понятие разума, для которого чувства не могут дать адекватного предмета."). Дискурсивная конструкция в самом деле есть адекватный предмет для понятия идеального элемента, поскольку помимо этого дискурса его вообще невозможно мыслить. Трансцендентальные идеи призваны играть в рассуждении иную (хотя в чем-то и близкую) роль нежели идеальные элементы. Идея создает целостность условий, т.е. безусловное единство в бесконечном ряду обусловленного (см. B379). Идеальные элементы также создают единство, но отнюдь не безусловное, а весьма относительное. Введение числа w - порядкового типа множества натуральных чисел - создает единство в натуральном ряду, т.е. является условием единства натурального ряда. Но порядковые типы можно множить до бесконечности, причем каждое последующее будет условием единства для ряда предыдущих. Единственное, что может претендовать на роль трансцендентального понятия, - это "множество всех чисел", которое нельзя мыслить без противоречия. Трудно сказать, есть ли прямая связь между антиномиями чистого разума и канторовскими парадоксами, но определенная аналогия все же усматривается. вернуться в текст

Заключение

В качестве итога проведенного исследования мы можем теперь определить ряд выявленных в нем онтологических категорий.

Первой в этом ряду категорий должна быть указана конструкция, обозначающая результат пространственно-временного построения. Конструкция всегда явлена в пространстве и представляет собой продукт некоторой регулярной (т.е. подчиненной правилу) деятельности. Этот продукт является созерцанию благодаря действию способности воображения. Выделяя временной аспект, мы должны рассматривать конструкцию как след. Выделяя аспект целесообразности, мы называем конструкцию объектом. Всякая конструкция строится для того, чтобы решить определенную задачу. Мы должны ответить на вопрос, связанный с определенным образом построенным объектом. Но ответ на вопрос является результатом "встраивания" этого объекта в более общую, объемлющую его конфигурацию. Особенно это важно при решении вопроса о существовании. Суть всякого исследования сводится к построению конструкции определенного рода, в которой исследуемый объект занял бы определенное место.

Конструкция, включающая в себя объект, называется дискурсом. Категория дискурса собственно и определяется таким включением. Но этим же включением определяется и категория объекта. Последний не может быть изолированной конструкцией. Он является объектом, поскольку является предметом дискурса.

Но предметом дискурса может стать любая завершенная конструкция. В том числе и сам дискурс. В метаматематике Гильберта это проявляется особенно ясно. Гильберт сознательно делает доказательство (т.е. дискурс) объектом иного дискурса.