Евгений Александрович был человеком крайностей, В нем сочетались взаимоисключающие крайности: маска развязного и грубого Бывалого и восприимчивая, тонкая душа исполнителя второго концерта Рахманинова. По словам Натальи Крачковской, «иногда его хотелось убить», и данная фраза не была простым преувеличением, а иногда Моргунов мог открыть любую бюрократическую дверь, зайти в кабинет, как к своим давним знакомым, и за минуты решить давние проблемы своих друзей и просто знакомых. Устроить в хорошую больницу, организовать дежурство возле койки больного, броситься в суд защищать права ущемленного несправедливостью человека. И всегда был благодарен тому, кто когда-то выручил его самого. Людей, знавших Моргунова близко, не удивляла сцена, когда Моргунов внезапно останавливался посреди широкой улицы и, перекрикивая оживленное движение, кричал кому-то на другой стороне: «Я тебя люблю!».
Недаром известный и остроумный пародист Александр Иванов написал на Евгения Моргунова такую эпиграмму:
Хоть ярлык приклеился «Бывалый»
И весь имидж за собой ведет,
Видно по всему: он добрый малый,
А такой в беде не подведет!
В Севастополе за приехавшими на гастроли актерами присматривал инструктор горкома КПСС. Евгений Моргунов в доверительной беседе предложил ему: «Вы знаете, товарищ, наши артисты — Вицин, Санаев, Ладынина, Мартинсон — просто мечтают поехать на экскурсию на кладбище, чтобы поклониться могилам российских моряков. Только встаем мы все очень рано, поэтому давайте что-нибудь организуем часов эдак в семь утра». На следующий день в семь утра у гостиницы стоял автобус, а гид ходил по номерам, стучался к сонным артистам и зазывал на экскурсию. Но автобус так и остался пустым.
Большинство друзей прощали Моргунову его розыгрыши и порой беспощадные шутки, но некоторые обижались, и надолго. Наталья Крачковская однажды после очередной едкой шутки в свой адрес хлестко ударила Моргунова по щеке. На следующий день он пришел на съемочную площадку и извинился перед ней. Наталья Леонидовна — человек отходчивый и незлопамятный — ответила:
— Женя, ты тоже меня извини.
И тут Моргунов перебил ее ответные извинения словами:
— Нет, что ты!
Так они и помирились.
Зиновий Высоковский, Евгений Моргунов и группа актеров приехали на гастроли за рубеж. Для поселения в гостиницу им дали заполнить анкету, где имелся целый ряд граф обязательного заполнения. Высоковский, сидя рядом, из любопытства заглянул, что так бойко пишет коллега, и увидел, как в графе «Цель приезда» Моргунов, ни минуты не размышляя, размашисто вывел: шпионаж.
Евгений Моргунов неизменно отклонял все заманчивые предложения известных театральных режиссеров. Жесткая театральная дисциплина, график репетиций, актерская зависимость не прельщали актера, ограничивали его яркий талант театра в себе самом. Его стихия была в ином: импровизация, искренность, непосредственность, резкие переходы настроения. Даже для близких людей лицедейская натура Моргунова оставалась загадкой и серьезным испытанием на прочность.
Однажды Евгений Александрович пошел гулять со старшим сыном, была зима. Коляска низкая, ребенок был одет в зимний комбинезон и уже проявлял самостоятельную активность. Поскольку Моргунов никогда раньше не гулял один с ребенком, то коляску он толкал не перед собой, а волок позади. Шел торжественно, искоса поглядывая, как на него реагируют прохожие, узнают ли, провожают ли восхищенными взглядами знаменитого артиста?.. Казалось, прохожие пристально и немного изумленно смотрели на гордого собой отца, а одна женщина громко и даже как-то осуждающе окликнула Моргунова: «Эй, мужчина, это не вы ребенка потеряли?!». Оказалось, уже метров тридцать как любознательный малыш вывалился из коляски и, сидя посреди тротуара, с любопытством оглядывал окрестности.
Наталья Моргунова отмечала и необычность поведения Евгения Александровича как деда. Важным он считал накормить, одеть и задать направления духовной жизни: искусство, литература, музыка. Задушевные беседы и нравоучения не признавал и любил повторять: «Все должны делать сами!». Сыновья рано женились, и он не препятствовал их решению, а когда появились внуки, он и с ними разговаривал очень серьезно. «Ну что, в поликлинике были?», «Что сказал доктор?», «А почему тебе мама новую рубашку не купит?» — и требовал взрослых ответов.
Внуки его побаивались.