Осесимметричная задача теории упругости: проблемы в теории

ВАЖНО (!) СТЯГИВАТЬ ЭЛЕМЕНТ В ТОЧКУ ЯВЛЯЕТСЯ ГРУБОЙ ОШИБКОЙ, точка это математическое понятие, и по размеру ее ничего не мешает соотнести с атомом.

Это противоречит условию сплошности. Размеры выше бесконечно малых размеров.

__

Теперь, введем строгое различие между напряжениями по площадкам и главными напряжениями по главным площадкам.

Ориентацию в пространстве кубического элемента главных площадок предстоит найти и предстоит найти главные напряжения.

__

Выделим кубический элемент со сплошными размерами в стенке сосуда. ПРОБЛЕМА. Ориентация в пространстве этого кубического элемента будет произвольной даже в том случае, если для цилиндрической оболочки мы направим его оси параллельно прямой образующей цилиндра.

Мы не знаем направление главных напряжений и ориентацию площадок с главными напряжениями.

Условно посмотрим на кубический элемент «в плане» и рассмотрим для примера плоское напряженное состояние.

В стенке выделен кубический элемент с произвольной ориентацией в пространстве [2]:

Для этого элемента найдены площадки, по которым действуют главные напряжения, то есть направления главных напряжений:

Итак, делаем вывод:

величины напряжений и направления напряжений по сторонам произвольно выделенного кубического элемента не совпадают с величинами напряжений и направлениями главных напряжений. На месте произвольно выделенного кубического элемента должен быть нарисован кубический элемент с главными напряжениями.

Равновесие элемента сплошной среды

Итак, в стенке выделен кубический элемент со сложным напряженным состоянием в

Прямоугольных координатах:

Тимошенко [3] отмечает о равновесии элемента за счет моментов от касательных напряжений вокруг осей x, y, z.

__

Чрезвычайно ВАЖНО (!)

Только конфигурация сплошного элемента со сторонами с равными площадями (для интеграла по элементарным площадкам касательных напряжений) и с прямыми углами между ребрами (осями x, y,z) ОБЕСПЕЧИВАЕТ РАВНОВЕСИЕ ЭЛЕМЕНТА.

__

Вместо куба может быть использован тетраэдр.

Тогда результирующий вектор рассматривается как эквивалентное напряжение, значение которого сравнивают с линейным растяжением.

Ошибка в равновесии элемента осесимметричной задачи теории упругости

Схема оболочки под давлением:

Из стенки выделяется сплошной элемент в форме трапеции с кривыми основаниями:

Рассмотрим этот элемент с размерами сплошности «в плане»:

Для того, чтобы выполнилось условие равновесия, необходимо, чтобы площади сторон сплошного элемента стенки в виде сегмента были равны для создания равных моментов касательными напряжениями.

__

Для ответа на поставленную проблему о равновесии, совместим сплошные элементы кубической формы и выделенный элемент []:

Как видно, площади сторон кольцевого выделенного элемента не равны, как в случае куба. А следовательно, этот элемент не будет находится в условиях равновесия (!).

Стороны не бесконечно малые и в точку не стягиваются. И напряжения по сторонам элементов отличаются по ориентации.

__

Итак, найдена первая ошибка в расчетной модели осесимметричной задачи теории упругости.

Ошибка в обращении с главными напряжениями в осесимметричной теории упругости

В осесимметричной задаче теории упругости почему-то считается, что кольцевые напряжения являются главными напряжениями (???).

В этой задаче постановка проблемы о поиске главных напряжений вообще не ставится (!!!).

__

Интересно рассмотреть обоснование ошибки некорректными рассуждениями:

– в работе Шапиро и Даркова [4.с.596]: «…в связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки, нормальные напряжения являются главными напряжениями…».

Комментарий: главные напряжения необходимо найти по нормальным. Симметрия не обеспечивает их равенство.

Утверждение доказано в работе [5]:

Совместим этот выделенный сегмент с кубическим элементом и покажем для упрощения только вид в плане (сверху):

На рисунке: Q – равнодействующая сил внутреннего давления, уравновешивается касательными напряжениями по граням кубического элемента. По этим же граням действуют нормальные напряжения, не совпадающие с кольцевыми напряжениями по направлению.