Открытие без границ. Бесконечность в математике

Когда мы говорим «вечная любовь», то имеем в виду временной аспект бесконечности. Если же мы скажем, что Вселенная бесконечна, то речь идёт о её пространственном аспекте. Это определение по-прежнему расплывчато и по ощущениям напоминает вид звёздного неба в безлунную ночь: его чернота кажется нам беспредельной. Поэтому очевидно, что если мы хотим говорить о бесконечности, то первое, что мы должны сделать, — это выбрать в качестве отправной точки некий конкретный объект, и, хотя это может показаться парадоксальным, поскольку математика носит абстрактный характер, лучшей отправной точкой станет ряд натуральных чисел.

Как известно, нет ничего более «натурального», чем натуральное число, и в любой развитой культуре известен ряд чисел 1, 2, 3, … Когда заканчивается этот ряд? Разумеется, никогда. Но почему? Потому что мы всегда можем прибавить к последнему числу единицу и получить следующее число. Как вы увидите чуть позже, за этим ответом скрывается достаточно точное определение понятия «бесконечность». Как бы то ни было, ответ «никогда» имеет в том числе временной аспект.

Точно так же можно сказать, что мы «всегда» сможем добавить к этому ряду ещё одно число. Если мы будем приписывать к натуральному ряду числа, держа в руке часы, то увидим, что не только этот ряд, но и время, затраченное на его написание, будут бесконечно большими, что часто становилось причиной серьёзных неудобств при изучении бесконечности.

* * *

ЗНАК БЕСКОНЕЧНОСТИ

Круг, изображаемый на иконах над головами святых, символизирует вечность. Латинское слово caelum означает и «небосвод», и «круг». Эта бесконечная кривая, которую можно обойти бесконечное число раз за бесконечное время, символизирует вечность. Аналогично в некоторых языческих верованиях в качестве символа святости вместо круга использовался знак бесконечности. В большинстве версий карт Таро на первой карте над головой Мага изображён знак бесконечности. Этот символ, который многие ошибочно называют «перевёрнутой восьмёркой», представляет собой так называемую «лемнискату Бернулли». Он был введён британским математиком Джоном Валлисом (1616–1703). Согласно другой версии, этот знак происходит от буквы М (обозначавшей тысячу), написанной курсивом, и Валлис, который также был филологом, начал использовать этот знак для обозначения очень больших чисел.

На карте Таро над головой Мага изображён знак бесконечности.

Очень большое и очень малое

Проведём небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что у нас есть мяч, который обладает следующими свойствами: всякий раз, когда он падает на пол, он отскакивает на высоту, в два раза меньшую, чем высота, с которой он упал. Если, например, мяч упал с высоты двух метров, он отскочит от пола на метр, затем на 50 см и т. д. Допустим, что нам нужно решить следующую задачу. Мы бросаем мяч с высоты 10 м. Какое расстояние пройдёт мяч к тому моменту, когда он остановится? Нельзя сказать, что эту задачу невозможно решить, ведь мы понимаем, что в определённый момент мяч перестанет подпрыгивать — он не может подскакивать вечно. С другой стороны, можно предположить, что пройденный им путь будет бесконечно большим, так как делить пополам можно бесконечно, и всякий раз результатом деления будет всё меньшая и меньшая величина. Это типичный парадокс, связанный с бесконечностью (далее мы рассмотрим его подробнее), в котором фигурирует новое для нас понятие бесконечно малой величины.

Остановится мяч или же он будет бесконечно долго подпрыгивать на бесконечно малую высоту?