Открытие без границ. Бесконечность в математике

Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд независимо друг от друга работали над определением вещественных чисел. Работы Кантора и Дедекинда стали классическими и вошли в учебники. Труды Кантора, в основе которых лежала теория множеств, были наиболее близки Дедекинду, особенно потому, что оба они работали над большой темой непрерывности пространства, носившей больше философский, нежели математический характер. И Кантор, и Дедекинд утверждали, что доказать непрерывность пространства абсолютно невозможно. Максимум, что можно сделать, — это принять гипотезу о непрерывности пространства в качестве постулата.

На этой памятной марке, выпущенной в честь Дедекинда, справа изображена формула разложения числа на простые множители.

В 1872 году, находясь на отдыхе в Швейцарии, Кантор познакомился с Дедекиндом — одним из немногих математиков того времени, если не сказать единственным, с которым он поддерживал близкие отношения, основанные на взаимном доверии и уважении. Рождение теории множеств можно чётко проследить, если ознакомиться с их перепиской в 1874–1884 годах. Любопытно, что в большинстве наиболее важных статей Дедекинд почти не использует понятие «множество»: он считал, что Кантор уже совершил наиболее важные открытия в этой области, поэтому больше внимания уделял понятию отображения.

В 1881 году на кафедре математики Университета Галле освободилась должность преподавателя, и Кантор предложил кандидатуру Дедекинда, написав в Министерство образования письмо, в котором подчеркнул положительные качества своего друга. Однако, несмотря на настойчивые просьбы Кантора, Дедекинд отказался от этой должности — у него совершенно отсутствовали какие-либо амбиции и желание занять высокое место в научных кругах. В течение тридцати лет Дедекинд преподавал в Карловском коллегиуме, где работали его отец и дед. К тому же чиновники министерства отдали должность преподавателю, рекомендованному Кронекером.

В результате отношения между Кантором и Дедекиндом остыли, и переписка между ними прекратилась на семнадцать лет. Лишь в 1899 году по инициативе Кантора учёные вновь начали общаться.

Миттаг-Леффлёр

В то самое время, когда отношения между Кантором и Дедекиндом прекратились, на горизонте появилась новая личность, которой суждено было получить признание в научном мире и поддержать Кантора в один из тяжелейших периодов его жизни.

Этим человеком был Магнус Гёста Миттаг-Леффлёр (1846–1927) — математик шведского происхождения, известный не собственными открытиями, а прежде всего благодаря распространению трудов других великих математиков. Брак с богатой наследницей позволил ему найти необходимые средства для учреждения в 1882 году нового научного журнала Acta Mathematica, который завоевал значительный авторитет в международном научном сообществе. Кантор и Миттаг-Леффлёр быстро нашли общий язык, и последний перевёл большинство статей, переданных ему Кантором.

Магнус Гёста Миттаг-Леффлёр на фотографии 1916 года.

Переводом трудов Кантора на французский и редактированием занялась группа математиков во главе с Шарлем Эрмитом, который, как мы отмечали в главе 5, разработал доказательство трансцендентности числа e, впоследствии улучшенное самим Кантором. Публикации в Acta Mathematica сыграли большую роль в поддержке новой теории трансфинитных чисел, однако инцидент, связанный с публикацией «Основ теории отношений порядка», свёл все усилия Кантора на нет. Кантор в то время безуспешно пытался найти доказательство континуум-гипотезы, но ему не удавалось достичь сколько-нибудь значимых результатов. В упомянутой выше работе был дан новый толчок теории множеств, что, как считал Кантор, должно было упростить доказательство. Однако Миттаг-Леффлёр отложил публикацию статьи более чем на год, ссылаясь на то, что в ней не только отсутствовало доказательство континуум-гипотезы, но и она непременно вызвала бы негативную реакцию научного сообщества: в работе использовалось понятие трансфинитных чисел и новый математический язык, а также содержались далёкие от математики философские рассуждения. Кантор счёл этот инцидент, по его словам, «настоящей катастрофой» и для математики, и для него лично. Он усмотрел в этом влияние «чёрной руки» — так учёный называл группу берлинских математиков (в их числе были Куммер, Вейерштрасс и Кронекер), отвергавших его теории. Как мы уже отмечали, с Кронекером Кантор вёл крайне ожесточённую полемику.

Эксцентричность Кантора

В марте 1874 года, во время одной из частых поездок в Берлин, Кантор познакомился с Валли Гугтман, подругой своей сестры Софи, и в августе того же года женился на ней. Валли была увлекающейся натурой, она любила музыку, и Кантор всегда относился к ней с величайшей нежностью. Тем не менее, осознавая свои слабости, он ещё до свадьбы предупредил невесту, что его