Открытие без границ. Бесконечность в математике

Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Например, между 6 и 7 «не поместится» никакое другое натуральное число, которое должно быть больше 6 и меньше 7. Однако если мы добавим к множеству натуральных чисел дробные числа, это правило перестанет выполняться. Так, число

будет находиться между 6 и 7.

Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми другими двумя числами. Если даны два числа А и В, то обязательно будет выполняться соотношение

Однако для этого необходимо, чтобы последовательность чисел, с которой мы работаем, содержала дробные, или рациональные, числа.

Так как описанные выше действия можно повторять бесконечно, можно утверждать, что между двумя любыми рациональными числами всегда будет располагаться бесконечно много других рациональных чисел. Именно в этом и заключается свойство плотности, о котором мы говорим. Плотность делает бессмысленным понятие «следующего» числа. Говоря о множестве натуральных чисел, можно смело утверждать, что за числом 12 следует 13, однако на множестве рациональных чисел говорить о числе, следующем за N, не имеет смысла: если таким числом является М, то всегда существует число

идущее перед М.

Плотность отражает понятие бесконечности с непривычной стороны. Приведём пример из геометрии. Когда мы представляем себе прямую, мы считаем, что она продолжается бесконечно с обоих концов. В нашем представлении эта прямая бесконечно велика. Аналогом дробных чисел из предыдущего примера будут точки на отрезке прямой: между двумя точками всегда находится третья, и число точек отрезка также бесконечно велико.

Дискретное и непрерывное

Толковый словарь русского языка даёт слову «дискретный» такое определение: «прерывистый, дробный, состоящий из отдельных частей», что схоже с определением дискретной величины в математике: «величина, принимающая конечное число отдельных значений, например число деревьев в лесу, число солдат в армии и пр.».

Как вы увидите чуть позже, упоминание «отдельных частей» отсылает нас к высшим разделам математики, так как нужно очень чётко определить значение слова «отдельный», что сделать не так просто, как может показаться.

Чтобы лучше разобраться во всех тонкостях бесконечности (как бесконечно больших, так и бесконечно малых величин), нужно чётко понимать значение понятий «непрерывное» и «дискретное». Рассмотрим разницу между ними на простом примере. Представьте себе два одинаковых сосуда, в одном из которых находится вода, а в другом — небольшие пластиковые шарики. Перельём содержимое первого сосуда в кувшин. Мы увидим, как течёт жидкость и как постепенно уровень воды в кувшине поднимается. Если мы будем пересыпать в кувшин шарики, всё будет выглядеть и восприниматься совершенно иначе: мы будем видеть, как шарики по одному падают в кувшин. Разница между первым и вторым случаем будет заметна не только на глаз, но и на слух: в первом случае звук будет непрерывным, во втором мы сможем различить звук, издаваемый каждым шариком при падении в кувшин.

В первом случае мы имеем дело с непрерывным процессом, во втором случае — с дискретным.

Рассмотрим другой пример: с 9 утра до 9 вечера время течёт непрерывно.

Но если мы посмотрим на расписание поездов, которые отправляются с 9 утра до 9 вечера, то увидим дискретное множество значений. Если один поезд отправляется в 10 утра, а следующий — в 11, то между значениями 10 и 11 нет никаких других, то есть эти значения дискретны. Напротив, течение времени между 10 и 11 часами непрерывно, и время может равняться, например 10 часам 25 минутам и 0,34628761720041244474 секунды.

Можно подумать, что понятия дискретного и непрерывного достаточно просты и интуитивно понятны. Тем не менее на протяжении многих лет они были предметом жарких споров: с одной стороны, они вовсе не просты, а с другой — потому что, как вы увидите чуть позже, интуиция не всегда хороший советчик, так как один и тот же предмет может казаться нам дискретным или непрерывным в зависимости от масштаба наблюдений.

Споры о дискретном и непрерывном вращаются вокруг понятия бесконечности, поэтому неудивительно, что они протекают скорее в философской плоскости, подобно противостоянию между пифагорейской и элейской школами в Древней Греции, которое ярче всего проявилось в парадоксах Зенона.

Ключевой вопрос состоит в том, является наш мир дискретным или непрерывным. Ответ на него очень сильно зависит от наших ощущений и, как следствие, лежит в плоскости теории познания. Не предаваясь философским размышлениям и не углубляясь в психологию, в начале XX века физики и математики сделали свой выбор в пользу концепции дискретного мира: появилась квантовая механика и так называемая дискретная математика.

Как обмануть время