Открытия и гипотезы, 2015 №04

Арифметика — раздел математики, изучающий числа, их свойства и отношения — является одной из основных математических наук. История арифметики охватывает период от возникновения счёта до формального определения чисел и арифметических операций над ними с помощью системы аксиом.

Когда и при каких обстоятельствах возникла арифметика, мы видимо никогда не узнаем из-за давности событий. Ведь даже животные умеют различать большее и меньшее количество точек на кормушке и идут именно к той, за которой прячется пища. А что уж говорить о людях…

Первые научные сведения об арифметических знаниях обнаружены в исторических памятниках Вавилона и Древнего Египта, относящихся к III–II тысячелетиям до н. э. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности пифагорейцы, которые пытались с помощью чисел определить все закономерности мира. Арифметика развивалась в Индии и странах ислама и только затем пришла в Европу.

Изначально основной областью применения арифметики была торговля. Лишь кXVII веку мореходная астрономия, механика, более сложные коммерческие расчёты поставили перед арифметикой новые запросы и дали толчок к дальнейшему развитию.

Возникновение арифметики

Ещё в доденежные первобытные времена, когда происходил натуральный обмен товарами между племенами, обмениваемые предметы раскладывались в два ряда, что позволяло устанавливать количественные соотношения между ними. Этот способ не требовал применения такого понятия как число.

В дальнейшем появились естественные эталоны счёта, например, пальцы рук. С появлением таких эталонов и связывают возникновение понятия числа. При этом число предметов сравнивали то с Луной в небе, то с количеством глаз, рук и т. п. Позднее многочисленные эталоны заменялись на один наиболее удобный, обычно им становились пальцы рук и/или ног. По поводу нашей десятеричной системы счисления, унаследованной от праиндоевропейских предков, французский математик Анри Леон Лебег заметил: «Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления».

Но это было потом. Вначале первобытные люди для записи результатов счёта использовали зарубки на дереве или костях, узелки на верёвках и т. п. Одним из таких образцов является лучевая кость молодого волка с 55 зарубками на ней, которая была найдена в 1937 году около деревни Дольни-Вестонице (Чехия). Возраст находки составляет около 5 тысяч лет, долгое время она была старейшей известной записью числа в Европе.

В разных странах в разные времена арифметика шла разными путями, но в целом всё более совершенствуясь и приближаясь к современному виду.

Египет

Основные сведения по египетской математике базируются на папирусе Ахмеса, который является конспектом египетского писца Ахмеса (XVIII–XVII века до н. э.). Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Он был составлен для учебных целей и содержит задачи с решениями, вспомогательные таблицы и правила действий над целыми числами и дробями.

Из папируса мы узнаем, что египтяне пользовались десятичной системой счисления и использовали такие арифметические операции, как сложение, удвоение и дополнение дроби до единицы. Любое умножение на целое число и любое деление без остатка проводились с помощью многократного повторения операции удвоения, что приводило к громоздким вычислениям, в которых участвовали определённые члены последовательности 1, 2, 4, 8, 16…

В Египте нашли применение только аликвотные дроби (числитель равный единице, и знаменатель любое натуральное число), а все остальные дроби разлагались на сумму аликвотных. В папирусе Ахмеса представлены таблицы таких разложений для дробей.

При определении площади квадрата, объёма куба или нахождении стороны квадрата по его площади египтяне сталкивались с возведением в степень и извлечением корня, хотя названий этих операций ещё не было.

Зарубки на кости, возможно, отображающие счёт, найдены около озера Эдуард (Центральная Африка) имеют возраст более 30 тысяч лет.

Часть папируса египетского писца Ахмеса (XVIII–XVII века до н. э.)

Вавилон