Первые три минуты

Мы показали, что промежуток времени, за которой плотность падает от экстремальных значений, имевших место в ранней Вселенной, до ρ пропорционален, а сама плотность ρ пропорциональна 1/Rⁿ. Время, следовательно, пропорционально R^n/2, или, что то же самое:

Эта формула остается в силе до тех пор, пока кинетическая и потенциальная энергии не упадут настолько, что достигнут одного порядка с их суммой – полной энергией.

Как было отмечено в главе 2, в любой момент времени t на расстоянии ct существует горизонт, отсекающий сигналы, которые еще не успели до нас дойти. Теперь мы увидели, что R(t) при t → 0 уменьшается медленнее, чем расстояние до горизонта. То есть в прошлом был момент, когда все «типичные» частицы находились за горизонтом.

Заметка 4. Излучение абсолютно черного тела

Согласно планковскому распределению энергия du чернотельного излучения в единице объема и в узком интервале длин волн от λ до λ + dλ равна:

Здесь T – температура, k – постоянная Больцмана (1,38 × 10¯¹⁶ эрг/K), c – скорость света (299 729 км/с), e – число, равное 2,718…, и h – постоянная Планка (6,625 × 10¯²⁷ эрг с), которую в эту формулу ввел Макс Планк.

В случае длинных волн для знаменателя в формуле Планка верно приближенное равенство:

Таким образом, в данном диапазоне длин волн планковское распределение сводится к виду:

Эта формула выражает закон Рэлея – Джинса. Если бы он соблюдался для сколь угодно коротких волн, производная du/dλ стремилась бы к бесконечности при λ→0 и полная плотность энергии чернотельного излучения была бы бесконечной.

К счастью, планковское распределение достигает максимума при длине волны:

λ = 2014052 hc/kT,

а затем на коротких волнах следует крутой спад. Полная плотность энергии излучения абсолютно черного тела выражается через интеграл:

Интегралы такого вида легко найти в стандартных таблицах определенных интегралов. После интегрирования получаем:

Эта формула выражает закон Стефана – Больцмана.

Распределение Планка легко переписать в терминах квантов света – фотонов. Энергия фотона вычисляется по формуле

E = hc / λ.

Следовательно, число фотонов чернотельного излучения dN в единице объема и в узком интервале длин волн от λ до λ + dλ равно:

Тогда полное число фотонов в единице объема:

а средняя энергия фотона:

Е_ср. = и / N = 3,73 ×10¯¹⁶ [T (K)] эрг.

Теперь рассмотрим, что происходит с чернотельным излучением в расширяющейся Вселенной. Допустим, размер последней увеличился в f раз. Например, если Вселенная расширилась в два раза, то f = 2. Как мы знаем из главы 2, все длины волн пропорционально возрастут до значения:

λ' = f λ.

В конечном состоянии плотность энергии du' в новом интервале длин волн от λ' до λ' + dλ' меньше по сравнению с первоначальной плотностью энергии du в старом диапазоне длин волн от λ до λ + dλ по двум причинам:

1. Поскольку объем Вселенной вырос в f ³ раз, а фотоны никуда не исчезают и ниоткуда не появляются, то их число в единице объема упало в 1/f ³ раз.

2. Энергия одного фотона обратно пропорциональна длине волны, и, значит, она уменьшилась в 1/f раз. Следовательно, полная плотность энергии уменьшилась в 1/f ⁴ раз (1/f ³ умножить на 1/f):

Переписывая эту формулу через новую длину волны λ', получим:

Но это опять та же самая формула для du в зависимости от λ и dλ, только вместо температуры Τ стоит новая температура:

Τ' = Τ / f.

Таким образом, приходим к заключению: свободно расширяющееся чернотельное излучение в любой момент времени описывается формулой Планка с температурой, обратно пропорциональной коэффициенту расширения.

Заметка 5. Масса Джинса

Чтобы из сгустка вещества образовалась гравитационно связанная система, его гравитационная потенциальная энергия должна превосходить энергию теплового движения. Гравитационная потенциальная энергия сгустка радиуса r и массы M по порядку величины равна:

Внутренняя энергия в единице объема пропорциональна давлению р, поэтому полную внутреннюю энергию можно оценить как:

Гравитационные силы будут преобладать над силами давления, если

Но для заданной плотности ρ мы можем выразить r через M, пользуясь соотношением

Таким образом, условие гравитационного скучивания приобретает вид

или по-другому:

М >> М_j,

где M_J (с точностью до несущественного численного множителя) называется массой Джинса:

Например, непосредственно перед рекомбинацией водорода плотность равнялась 9,9 × 10¯²² г/см ³ (см. математическую заметку 3 на с. 237), а давление:

Следовательно, масса Джинса была:

Интересно отметить, что крупные шаровые скопления в нашей Галактике имеют примерно такую же массу.

Заметка 6. Температура и плотность нейтрино

Если тепловое равновесие не нарушается, в системе сохраняется физическая величина, известная как энтропия. Для наших целей достаточно будет воспользоваться приближенной формулой для энтропии S в единице объема при температуре T: