Первые три минуты

До тех пор, пока сохраняется тепловое равновесие, полное значение величины, называемой «энтропией», остается фиксированным. В достаточном для наших целей приближении энтропия Sв единице объема при температуре Тдается формулой

где N _T— эффективное число разновидностей частиц, находящихся в тепловом равновесии, пороговая температура которых ниже Т. Для того чтобы удержать полную энтропию постоянной, Sдолжна быть пропорциональна обратному кубу размера Вселенной. Это значит, что если Rесть расстояние между любой парой типичных частиц, то

Как раз перед аннигиляцией электронов и позитронов (при температуре около 5 x 10 ⁹К) нейтрино и антинейтрино уже вышли из теплового равновесия с остальным содержимым Вселенной, так что единственными частицами, имевшимися в больших количествах в равновесии, были электрон, позитрон и фотон. Мы видим, что согласно табл. 1 полное эффективное число разновидностей частиц перед аннигиляцией составляло [60]

После аннигиляции электронов и позитронов в четвертом кадре единственными частицами, которые остались в равновесии в большом количестве, были фотоны. Эффективное число разновидностей частиц равнялось поэтому просто

Из закона сохранения энтропии следует, что

Это значит, что тепло, выделившееся при аннигиляции электронов и позитронов, увеличило величину TRна множитель

Перед аннигиляцией электронов и позитронов температура нейтрино T была такой же, как и температура фотонов Т. Но после этого Тпросто падала как 1/ R, так что для всех последующих моментов времени произведение T Rравнялось значению TRперед аннигиляцией.

Отсюда заключаем, что после окончания процесса аннигиляции температура фотонов оказалась выше температуры нейтрино в

Нейтрино и антинейтрино, даже хотя они и не находятся в тепловом равновесии, дают важный вклад в космическую плотность энергии. Эффективное число разновидностей нейтрино и антинейтрино равно [61]7/2, или 7/4 от эффективного числа разновидностей фотонов. (Имеются два спиновых состояния фотона.) В то же время четвертая степень температуры нейтрино меньше, чем четвертая степень температуры фотонов, на множитель (4/11) ^4/3. Следовательно, отношение плотности энергии нейтрино и антинейтрино к плотности энергии фотонов

Закон Стефана-Больцмана (см. главу III) утверждает, что при температуре фотонов Тплотность энергии фотонов

Следовательно, полная плотность энергии после электрон-позитронной аннигиляции равна

Мы можем перевести это в эквивалентную плотность массы, разделив на квадрат скорости света, и найдем тогда

ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА

ДОПОЛНЕНИЕ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ

В предлагаемой книге Вайнберг для определения закона расширения Вселенной рассматривает шар, выделенный из безграничной среды. Гравитационное поле среды, окружающей шар, при этом не рассматривается: как известно, поле внутри сферически-симметричной оболочки равно нулю. Вывод Вайнберга правилен. Однако у читателя могут возникнуть сомнения, нет ли произвола в операции мысленного выделения шара [62]. Поэтому полезно дать вывод, также основанный на ньютоновой теории тяготения, в котором искусственное выделение шара не используется. Логическая простота при этом покупается ценой некоторого математического усложнения решения. Приводимый ниже вывод оказывается также весьма полезным в теории образования галактик при рассмотрении возмущений идеального решения. Однако в этом дополнении мы не касаемся вопроса о возмущениях.

Итак, для определения закона расширения будем непосредственно рассматривать безграничную среду, ее гравитационный потенциал и движение.

Уравнение тяготения запишем в форме уравнения Пуассона:

где  — потенциал гравитационного поля; G— гравитационная постоянная;  — плотность. Будем искать сферически-симметричное решение с , зависящим только от r= (х ²+ у ²+ z ²) ^1/2. Тогда

Решение этого уравнения имеет вид:

Мы привыкли к тому, что потенциал равен нулю на бесконечности; для ограниченной совокупности масс это так и есть. В безграничной Вселенной, равномерно заполненной веществом, это не так, однако нет никаких причин отказываться от приведенного решения.

Давление, так же как и плотность, считаем не зависящим от координат. В уравнение движения сплошной среды входит градиент давления, но в данном случае эта величина равна нулю.

Общий вид уравнения движения сплошной среды:

Подставим сюда выражение закона Хаббла

и используем выражение (3) для (r)и то, что grad  = 0. Сократив r, получим:

Наконец, составим уравнение неразрывности:

Подставив сюда хаббловское выражение скорости (5), найдем, что не зависящая от координат (но зависящая от времени) плотность удовлетворяет уравнению

Система уравнений (6) и (8) полностью эквивалентна тем уравнениям, которые выписаны автором книги в дополнении 2. Для ее решения удобно поделить одно уравнение на другое. Тогда

Это уравнение легко представить в виде линейного уравнения относительно величины H ²: