φ – Число Бога

Квадрат третьего числа равен

(p² + q²)² = p⁴ + 2p²q² + q⁴.

Итак, мы видим, что квадрат третьего числа равен сумме квадратов первых двух чисел независимо от значений p и q.

Приложение 2

Мы хотим доказать, что диагональ и сторона правильного пятиугольника несоизмеримы, то есть у них нет общей меры.

Общий принцип доказательства по методу reductio ad absurdum приведен в конце главы 2.

Обозначим сторону правильного пятиугольника ABCDE как s₁, а диагональ – как d₁. Из свойств равнобедренных треугольников легко вывести, что AB = AH и HC = HJ. Теперь обозначим сторону меньшего правильного пятиугольника FGHIJ как s₂ и его диагональ как d₂. Очевидно, что

AC= AH + HC= AB + HJ.

Следовательно,

d₁ = s₁ + d₂ или d₁ – s₁ = d₂.

Если у d₁ и s₁есть какая-либо общая мера, значит, и d₁, и s₁представляют собой целое произведение этой общей меры. Следовательно, существует также общая мера d₁ – s₁, то есть d₂. Подобным же образом равенства

AG= HC= HJ

AH= AB

и

AH= AG+ GH

AB= HJ+ GH

дают нам

s₁ = d₂ + s₂

или

s₁ – d₂ = s₂.

Поскольку на основании нашего предположения общая мера для s₁ и d₁ представляет собой также общую меру для d₂, последнее равенство доказывает, что она же еще и общая мера для s₂. Поэтому мы обнаруживаем, что та единица, которая измеряет s₁ и d₁, измеряет также s₂ and d₂. Продолжать этот процесс можно до бесконечности, рассматривая правильные пятиугольники все меньшего и меньшего размера. Тогда мы получим, что та же единица, которая служит общей мерой стороны и диагонали первого правильного пятиугольника, служит общей мерой и для всех других пятиугольников, сколь бы крошечными они ни становились. Поскольку очевидно, что так быть не может, следовательно, наше первоначальное предположение, что у стороны и диагонали правильного пятиугольника есть общая мера, ложно, что и доказывает, что s₁ и d₁ несоизмеримы.

Приложение 3

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию. У треугольника TBC основание BC равно 2а, а высота ТА равна с. Следовательно, площадь треугольника равна с × а. Мы хотим показать, что если квадрат высоты пирамиды h² равен площади ее треугольной стороны s × a, то s/a равно золотому сечению.

Дано, что

h² = s× a.

Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику TOA, получаем

s² = h² + a².

Теперь подставим значение h² из первого равенства и получим

s² = s× a + a².

Разделим обе части на a² и получим

(s/a)² = (s/a)+ 1.

Иными словами, если мы обозначим s/a как x, у нас получится квадратное уравнение

x² = x+ 1.

В главе 4 показано, что именно это уравнение и описывает золотое сечение. 

Приложение 4

Одна из теорем в «Началах» доказывает, что если у двух треугольников одинаковые углы, эти треугольники подобны. А это значит, что форма у этих треугольников совершенно одинаковая и длины сторон соответственно пропорциональны. Если одна сторона одного треугольника вдвое длиннее соответствующей стороны второго треугольника, то это справедливо и по отношению к остальным сторонам.

Треугольники ADB и DBC подобны, поскольку у них одинаковые углы. Следовательно, отношение AB/DB, то есть отношение сторон треугольников ADB и DBC, равно DB/BC, то есть отношению оснований этих треугольников.

AB/DB= DB/BC.

Однако эти треугольники также равнобедренные, поэтому

DB= DC= AC.

Из вышеприведенных равенств следует, что

AC/BC= AB/AC,

Что означает (согласно определению Евклида), что точка C делит отрезок AB в золотом сечении. Поскольку AD = AB и DB = AC, получаем также, что AD/DB = φ.

Приложение 5

Квадратные уравнения – это уравнения, имеющие вид

ax² + bx+ c= 0,

где a, b, c – произвольные числа. Например, в уравнении 2x² + 3x+ 1 = 0 имеем a = 2, b = 3, c = 1.

Общая формула для поиска двух корней уравнения:

В вышеприведенном примере

В уравнении, описывающем золотое сечение,

x² – x – 1 = 0,

a = 1, b = –1, c = –1, следовательно, корни:

Приложение 6

Задачу о дележе наследства можно решить следующим образом. Обозначим все наследство как E, а долю каждого из сыновей в безантах – как x (по условию, все они делят наследство поровну).

Первый сын получил

Второй сын получил

Приравниваем их доли:

Упрощаем:

 x/7  = 6/7

x= 6.

Следовательно, каждому из сыновей досталось по 6 безантов.

Подставив эту величину в первое равенство, получаем:

Сумма наследства составила 36 безантов. Следовательно, количество сыновей 36/6 = 6.

А вот как выглядит решение Фибоначчи.