φ – Число Бога

Поэтому получается, что углы среднего треугольника равны 36–72–72, как помечено на рис. 25, а. Если разделить любой из 72-градусных углов при основании треугольника (как на рис. 25, b) биссектрисой, получится маленький треугольник DBC с такими же углами (36–72–72), как и большой треугольник ADB. При помощи самой элементарной геометрии мы можем показать, что по определению Евклида точка С делит сторону АВ в золотом сечении. Более того, отношение AD к DB также равно золотому сечению (краткое доказательство приводится в Приложении 4). Иначе говоря, отношение длины диагонали к длине стороны у правильного пятиугольника равно числу φ. Этот факт показывает, что умение разделить отрезок в золотом сечении дает нам еще и простой способ построить правильный пятиугольник. Необходимость построить правильный пятиугольник и была главной причиной интереса древных греков к золотому сечению. Треугольник, который на рис. 25, а находится в середине – с отношением стороны к основанию, равным φ – известен также как золотой треугольник, а два треугольника по сторонам от него, у которых отношение стороны к основанию равно 1/φ, называют иногда золотыми гномонами. Рис. 26 иллюстрирует уникальное свойство золотых треугольников и золотых гномонов: их можно рассекать на треугольники поменьше, которые также будут представлять собой золотые треугольники и золотые гномоны.

Связь золотого сечения с правильными пятиугольниками, пятисторонняя симметрия и платоновы тела представляют интерес сами по себе, и их, конечно, было бы более чем достаточно, чтобы возбудить любознательность древних греков. Пифагорейцы были прямо-таки очарованы правильным пятиугольником и пентаграммой, а Платон пристально интересовался правильными многогранниками и был убежден, что они служат отражением фундаментальных вселенских сущностей; поэтому поколения математиков, не покладая рук, трудились над формулировкой многочисленных теорем, имеющих отношение к φ. Однако золотое сечение никогда не заняло бы такого видного места и не снискало бы почтения на грани поклонения, если бы не некоторые его алгебраические свойства, поистине уникальные. Но чтобы понять, каковы эти свойства, нам нужно сначала точно вычислить значение φ.

Снова рассмотрим рис. 24; возьмем длину короткой части СВ за единицу, а длину длинной части АС за х единиц. Если отношение х к 1 таково же, как (х +1) – то есть длины отрезка АВ – к х, значит, отрезок разделен в крайнем и среднем отношении. Мы можем легко найти значение x в золотом сечении. По определению крайнего и среднего отношения

х/1 = (х + 1) / x.

Умножим обе части на х; тогда у нас получится х² = х + 1, или простое квадратное уравнение

х² – х – 1 = 0.

Если вы вдруг подзабыли, как решать квадратные уравнения, в Приложении 5 приведена краткая памятка. Два корня уравнения золотого сечения равны

х₁ = (1 + √5) /2

х₂ = (1 – √5) /2.

Положительный корень х₁ = (1 + √5)/2 = 1,6180339887… и дает нам значение золотого сечения. Теперь очевидно, что число φ – иррациональное, поскольку представляет собой половину суммы 1 + √5. Тут можно сразу заподозрить, что у этого числа есть интересные свойства; для этого нам понадобится простой карманный калькулятор. Введите число 1,6180339887 и нажмите клавишу [х²]. Ну как, ничего удивительного не замечаете? Теперь снова введите то же самое число и на сей раз нажмите клавишу [1/х]. Поразительно, правда? Квадрат числа 1,6180339887… дает 2,6180339887…, его обратное число («один к х») равно 0,6180339887… – знаки после запятой полностью совпадают! Золотое сечение обладает уникальными свойствами – чтобы получить его квадрат, достаточно прибавить к нему 1, а чтобы получить число, ему обратное, – вычесть 1. Кстати, отрицательный корень уравнения х₂ = (1 – √5)/2 равен в точности –1/φ.

Пол С. Брукманс из города Конкорд в штате Калифорния в 1977 году опубликовал в журнале «Fibonacci Quarterly» забавный стишок под названием «Constantly Mean», что можно перевести и как «Постоянное Среднее» (здесь он называет золотое сечение золотым средним):